Bài 77 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau :

Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau :

(eqalign{  & a);;d:{{x - 2} over 2} = {{y - 3} over 3} = {{z + 4} over { - 5}},cr&;;;;;d':{{x + 1} over 3} = {{y - 4} over { - 2}} = {{z - 4} over { - 1}};  cr  & b);;d:left{ matrix{  x = 2 + t hfill cr  y = 1 - t hfill cr  z = 2t hfill cr}  ight.,d':left{ matrix{  x = 2 - 2t'. hfill cr  y = 3 hfill cr  z = t'. hfill cr}  ight. cr} )

Giải

a) Cách 1: Ta có (overrightarrow {{u_d}}  = left( {2;3; - 5} ight),overrightarrow {{u_{d'}}}  = left( {3; - 2; - 1} ight).)

 Khi đó vì (left[ {overrightarrow {{u_d}} ,overrightarrow {{u_{d'}}} } ight] = left( { - 13; - 13; - 13} ight)) nên đường vuông góc chung (Delta ) có một vectơ chỉ phương là (overrightarrow u  = left( {1;1;1} ight).)

Gọi (left( alpha  ight)) là mặt phẳng chứa d và (Delta ) thì (left( alpha  ight)) đi qua ({M_o}(2;3; - 4)) và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow {{n_alpha }}  = left[ {overrightarrow {{u_d}} ,overrightarrow u } ight] = left( {8, - 7, - 1} ight).)

Có phương trình của mp(left( alpha  ight)) là: (8left( {x - 2} ight) - 7left( {y - 3} ight) - 1left( {z + 4} ight) = 0)

( Leftrightarrow 8x - 7y - z + 1 = 0.)

Gọi (left( eta  ight)) là mặt phẳng chứa (d') và (Delta ) thì (left( eta  ight))  đi qua điểm (M_o'left( { - 1;4;4} ight)) và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow {{n_eta }}  = left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {{u_{d'}}} } ight] = left( {1;4; - 5} ight).)

Phương trình của mp(left( eta  ight)) là :(1left( {x + 1} ight) + 4left( {y - 4} ight) - 5left( {z - 4} ight) = 0)

( Leftrightarrow x + 4y - 5z + 5 = 0.)

Vậy đường vuông góc chung (Delta ) của (d) và (d') là giao tuyến của hai mặt phẳng (left( alpha  ight)) và (left( eta  ight)) . Nó có phương trình tham số là:

                               (left{ matrix{  x = t hfill cr  y = t hfill cr  z = 1 + t. hfill cr}  ight.)

Cách 2: Điểm (M in d) có toa độ là (M = left( {2 + 2t;3 + 3t; - 4 - 5t} ight).)

Điểm (N in d') có toa độ là (N = left( { - 1 + 3t';4 - 2t';4 - t'} ight))

( Rightarrow overrightarrow {MN}  = left( { - 3 + 3t' - 2t;1 - 2t' - 3t;8 - t' + 5t} ight).)

MN là đường vuông góc chung của (d) và (d') khi và chỉ khi

 (left{ matrix{  overrightarrow {MN} .overrightarrow {{u_d}}  = 0 hfill cr  overrightarrow {MN} .overrightarrow {{u_{d'}}}  = 0 hfill cr}  ight.)

Suy ra (M = left( {0;0;1} ight),N = left( {2;2;3} ight) Rightarrow overrightarrow {MN}  = left( {2;2;2} ight).)

Vậy phương trình chính tắc của đường vuông góc chung (Delta ) là

({x over 1} = {y over 1} = {{z - 1} over 1}.)

b)  ({{x - 2} over 1} = {{y - 3} over 5} = {z over 2}.)

Sachbaitap.com