Bài 83 trang 136 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng :

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng:

(d:left{ matrix{  x = 1 + 2t hfill cr  y =  - 1 + t hfill cr  z = 2 - t. hfill cr}  ight.)

Gọi d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng

(left( alpha  ight):3y - z - 7 = 0) và (left( {alpha '} ight):3x + 3y - 2z - 17 = 0.)

a) Chứng minh d, d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua d’ và vuông góc với d . Tìm tọa độ giao điểm H của d và (P).

c) Một mặt phẳng (Q) thay đổi, luôn song song với mặt phẳng (Oxy), cắt d, d’ lần lượt tại M, M’. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MM’.

Giải

a) Đường thẳng d' là giao tuyến của hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là (overrightarrow n ) = (0 ; 3 ; -1) và (overrightarrow {n'} )  = (3 ; 3 ; -2) nên d' có một vectơ chỉ phương là :

(overrightarrow {{u_{d'}}}  =  - {1 over 3}left[ {overrightarrow n ,overrightarrow {n'} } ight] = left( {1;1;3} ight).)

Vectơ chỉ phương (overrightarrow {{u_d}} ) của d là (overrightarrow {{u_d}} ) = (2 ; 1 ; -1).

Vì (overrightarrow {{u_d}} .overrightarrow {{u_{d'}}}  = 0) nên (d ot d'.)

Ta dễ chứng minh d và d' không có điểm chung (hệ phương trình lập ra từ phương trình hai đường thẳng này vô nghiệm). Vậy chúng chéo nhau.

b) Ta lấy một điểm A nào đó thuộc (d'). Chẳng hạn cho y = 0 thì z = -7, x = 1, ta có (Aleft( {1{ m{ }};{ m{ }}0{ m{ }};{ m{ }} - 7} ight) in d'.). Vì d( ot ) d' nên mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d sẽ đi qua (d'). Vậy phương trình mặt phẳng (P) là :

( 2(x - 1) + (y - 0) - (z + 7) = 0)

( Leftrightarrow  2x + y- z- 9 = 0.)

Toạ độ giao điểm H(x ; y ; z) của d và (P) thoả mãn hệ

(left{ matrix{  x = 1 + 2t hfill cr  y =  - 1 + t hfill cr  z = 2{ m{  -  }}t hfill cr  2x + y - z - 9 = 0 hfill cr}  ight. )

(Rightarrow t = {5 over 3} Rightarrow H = left( {{{13} over 3};{2 over 3};{1 over 3}} ight).)

c) Mặt phẳng (Q) song song với mp(Oxy) nên có phương trình

                         z = m (m( e )0).

Toạ độ giao điểm M(x ; ỵ ; z) của d và (Q) thoả mãn hệ

(left{ matrix{  x = 1 + 2t hfill cr  y =  - 1 + t hfill cr  z = 2 - t hfill cr  z = m hfill cr}  ight. Rightarrow M = left( {5 - 2m;1 - m;m} ight).)

Toạ độ giao điểm (M')(x ; ỵ ; z) của (d') và (Q) thoả mãn hệ

(left{ matrix{  3y - z - 7 = 0 hfill cr  3x + 3y - 2z - 17 = 0 hfill cr  z = m hfill cr}  ight. )

(Rightarrow M' = left( {{{10 + m} over 3};{{7 + m} over 3};m} ight).)

Gọi I là trung điểm của (MM')  thì (I = left( {{{25 - 5m} over 6};{{5 - m} over 3};m} ight).)

Vậy quỹ tích của I là đường thẳng có phương trình tham số

(left{ matrix{  x = {{25 -5 m} over 6} hfill cr  x = {{5 - m} over 3} hfill cr  z = m hfill cr}  ight.;)

bỏ đi điểm (left( {{{25} over 6};{5 over 3};0} ight)) (ứng với m = 0).

Sachbaitap.com