Bài 84 trang 137 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét đường thẳng ∆_m là giao tuyến của 2 mặt phẳng

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét đường thẳng ({Delta _m}) là giao tuyến của 2 mặt phẳng

((alpha )) : mx + y - mz -1= 0 và ((alpha '):x - my + z - m = 0)

a) Chứng minh góc giữa ({Delta _m}) và trục Oz không đổi; khoảng cách giữa ({Delta _m}) và trục Oz không đổi.

b) Tìm tập hợp các giao điểm M của ({Delta _m}) và mp (Oxy) khi m thay đổi.

Giải

a) ({Delta _m}) là giao tuyến của hai mặt phẳng với các vectơ pháp tuyến là (overrightarrow {{n_1}}  (m ; 1; -m) ) và (overrightarrow {{n_2}}  (1; -m; 1)). Vậy ({Delta _m}) có vectơ chỉ phương là

            (overrightarrow {{u_m}}  = left[ {overrightarrow {{n_1}} ,overrightarrow {{n_2}} } ight] = left( {1 - {m^2}; - 2m; - 1 - {m^2}} ight).)

Trục Oz có vectơ chỉ phương (overrightarrow k = (0 ; 0 ; 1)).

Vậy nếu gọi ({varphi _m}) là góc giữa hai đường thẳng ({Delta _m}) và Oz thì

(cos {varphi _m} = {{left| {overrightarrow {{u_m}} .overrightarrow k } ight|} over {left| {overrightarrow {{u_m}} } ight|.left| {overrightarrow k } ight|}} = {{1 + {m^2}} over {sqrt {{{left( {1 - {m^2}} ight)}^2} + 4{m^2}+{{left( {1 + {m^2}} ight)}^2}} }} = {1 over {sqrt 2 }}.)

Suy ra ({varphi _m} = {45^o}) (không đổi).

Điểm M(x; y; z) thuộc ({Delta _m}) khi toạ độ của M là nghiệm của hệ

                       (left{ matrix{  mx + y - mz - 1 = 0 hfill cr  x - my + z - m = 0. hfill cr}  ight.)                    (*)

Khử z từ hệ phương trình (*), ta được phương trình

(2mx + left( {1 - {m^2}} ight)y - 1 - {m^2} = 0) (không chứa z).

Đây là phương trình của mặt phẳng (left( {{alpha _m}} ight)) chứa ({Delta _m}) và song song với trục Oz. Do đó, khoảng cách giữa ({Delta _m}) và Oz bằng khoảng cách từ gốc O(0 ; 0 ; 0) thuộc Oz tới mp(({alpha _m})). Vậy khoảng cách đó bằng:

({d_m} = {{left| { - 1 - {m^2}} ight|} over {sqrt {4{m^2} + {{left( {1 - {m^2}} ight)}^2}} }} = 1( ext{ không đổi}))

b) Toạ độ giao điểm M của ({Delta _m}) và mp(Oxy) là nghiệm của hệ :

                 (left{ matrix{  mx + y = 1 hfill cr  x - my = m hfill cr  z = 0. hfill cr}  ight.)

Bình phương hai vế của hai phương trình đầu của hệ rồi cộng lại, ta suy ra

                 (left{ matrix{  {x^2} + {y^2} = 1 hfill cr  z = 0. hfill cr}  ight.)

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính bằng 1 trong mặt phẳng toạ độ (Oxy).

Sachbaitap.com