Bài 74 trang 134 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
a)Cho hai điểm A(3;1;0), B(-9;4;9) ...
a)Cho hai điểm A(3;1;0), B(-9;4;9)
a) Cho hai điểm A(3;1;0), B(-9;4;9) và (mpleft( alpha ight):2x - y + z + 1 = 0.) Tìm tọa độ điểm M trên (left( alpha ight)) sao cho (left| {MA - MB} ight|) đạt giá trị lớn nhất.
b) Cho hai điểm A(3;1;1), B(7;3;9) và (mpleft( alpha ight):x + y + z + 3 = 0.) Tìm điểm M trên (left( alpha ight)) để (left| {overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} } ight|) đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
a)
(eqalign{
& P(A) = 2.3 - 1 + 0 + 1 = 6 cr
& P(B) = 2.( - 9) - 4 + 9 + 1 = - 12 cr
& P(A).P(B) = 6.left( { - 12}
ight) < 0 cr} )
Do đó hai điểm A, B nằm khác phía đối với mặt phẳng ((alpha )).
Gọi A' là điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng ((alpha )), ta có :
(left| {MA - MB} ight| = left| {MA' - MB} ight| le A'B) (không đổi).
Dấu "=" xảy ra khi A' nằm giữa hai điểm B, M hay M là giao điểm của đường thẳng A'B với mp((alpha )).
Vậy bài toán được giải theo trình tự sau
* Xác định điểm A' đối xứng với điểm A qua mp((alpha )),
Ta tìm được A' = (-1 ; 3 ; -2).
* Tìm giao điểm M của đường thẳng A'B với mp((alpha )).
Đường thẳng A'B có phương trình: (left{ matrix{ x = - 1 + 8t hfill cr y = 3 - t hfill cr z = - 2 - 11t. hfill cr} ight.)
Toạ độ điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ:
(left{ matrix{ x = - 1 + 8t hfill cr y = 3 - t hfill cr z = - 2 - 11t hfill cr 2x - y + z + 1 = 0 hfill cr} ight. Rightarrow t = 1 Rightarrow M = (7;2; - 13).)
Vậy (left| {MA - MB} ight|) lớn nhất khi (M = (7;2; - 13).)
b) Gọi I là trung điểm của đoạn (AB Rightarrow I = (5;2;5).)
Ta có (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} = 2overrightarrow {MI} Rightarrow left| {overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} } ight| = 2MI.)
Vậy (left| {overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} } ight|) nhỏ nhất ( Leftrightarrow ) MI nhỏ nhất với I cố định và (M in (alpha ) Leftrightarrow M) là hình chiếu vuông góc với I trên mp((alpha )).
Toa độ của (M(x;y;z)) là nghiệm của hệ:
(left{ matrix{ x = 5 + t hfill cr y = 2 + t hfill cr z = 5 + t hfill cr x + y + z + 3 = 0 hfill cr} ight. Rightarrow t = - 5 Rightarrow M = (0; - 3;0).)
Kết luận: (left| {overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} } ight|) nhỏ nhất ( { = 2MI = 10sqrt 3 } ) khi M= (0; -3; 0).
Sachbaitap.com
