Bài 81 trang 136 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho đường thẳng d1 đi qua điểm M1(0;0;1),

Cho đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁(0;0;1), có vec tơ chỉ phương (overrightarrow {{u_1}} (0;1;0)) và đường thẳng d₂ đi qua điểm M₂(0;0;-1), có vec tơ chỉ phương (overrightarrow {{u_2}} (1;0;0).) Tìm tập hợp các điểm M nằm trong mỗi mặt phẳng tọa độ và cách đều d₁, d₂.

Giải

Với điểm (Mleft( {x;y;z} ight)) bất kì, ta tính được các khoảng cách từ (M) tới ({d_1}) và ({d_2})  là:     

({h_1} = sqrt {{{left( {z - 1} ight)}^2} + {x^2}} ,)     ({h_2} = sqrt {{{left( {z + 1} ight)}^2} + {y^2}} .)

M cách đều ({d_1}) và ({d_2}) khi và chỉ khi

({h_1} = {h_2}) (Leftrightarrow sqrt {{{left( {z - 1} ight)}^2} + {x^2}}  = sqrt {{{left( {z + 1} ight)}^2} + {y^2}} ) 

(eqalign{  &  Leftrightarrow {x^2} - 2z = {y^2} + 2z  cr  &  Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 4z. cr} )

Xét trường hợp sau:

+) (M in ) mp(left( {Oxy} ight)) khi đó (z = 0) suy ra ({x^2} - {y^2} = 0.)

Vậy quỹ tích điểm M là cặp đường thẳng (y =  pm x) nằm trong mặt phẳng (z = 0).

+) M ( in ) mp(Oyz), tức là x = 0. Quỹ tích điểm M là đường parabol y² = -4z nằm trong mặt phẳng x = 0.

+) M  ( in ) mp(Oxz), tức là y = 0. Quỹ tích điểm M là đường parabol x² = 4z nằm trong mặt phẳng y = 0.

Sachbaitap.com