Câu 2.117 trang 89 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Giải các hệ phương trình sau

a ) (left{ matrix{ {4^{{{log }_3}xy}} = 2 + {left( {xy} ight)^{{{log }_3}2}} hfill cr {x^2} + {y^2} - 3x - 3y = 12 hfill cr}  ight.)

b)  (left{ matrix{ y = 1 + {log _2}x hfill cr{x^y} = 64 hfill cr}  ight.)

Giải

a) (left( {x;y} ight)) là (left( {3 - sqrt 6 ;3 + sqrt 6 } ight),left( {3 + sqrt 6 ;3 - sqrt 6 } ight))

ĐKXĐ: (xy > 0)

Áp dụng công thức ({a^{{{log }_c}b}} = {b^{{{log }_c}a}}) , phương trình đầu của hệ có thể viết thành

                                ({left( {{2^2}} ight)^{{{log }_3}xy}} = 2 + {2^{{{log }_3}xy}})

Đặt (t = {2^{{{log }_3}xy}}left( {t > 0} ight)) ta có ({t^2} = 2 + t). Giải phương trình ta tìm được (t =  - 1) (loại) và (t = 2). Từ đó ({log _3}xy = 1) hay (xy = 3)  

Biến đổi phương trình thứ hai của hệ thành

                                ({left( {x + y} ight)^2} - 3left( {x + y} ight) - 18 = 0)

Giải ra, ta được (x + y = 6) và (x + y =  - 3)

Như vậy, ta có hai hệ phương trình

                                (left{ matrix{ x + y = 6 hfill cr xy = 3 hfill cr}  ight.) và (left{ matrix{ x + y =  - 3 hfill cr xy = 3 hfill cr}  ight.)

Vậy (left( {x;y} ight)) là (left( {3 - sqrt 6 ;3 + sqrt 6 } ight),left( {3 + sqrt 6 ;3 - sqrt 6 } ight))

b) 

Thế y từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai rồi lấy lôgarit cơ số 2 cả hai vế.

(eqalign{
& left( {1 + {{log }_2}x} ight){log _2}x = 6 Leftrightarrow log _2^2x + {log _2}x - 6 = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
{log _2}x = 2 hfill cr
{log _2}x = - 3 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = 4 Rightarrow y = 3 hfill cr
x = {1 over 8} Rightarrow y = - 2 hfill cr} ight. cr} )

Vậy nghiệm của hệ là: (left( {4;3} ight),left( {{1 over 8}; - 2} ight))

Sachbaitap.com