Bài 76 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

a)Tìm tọa độ điểm đối xứng của

a) Tìm tọa độ điểm đối xứng của ({M_0}(2; - 1;1)) qua đường thẳng :

(d:left{ matrix{  x = 1 + 2t hfill cr  y =  - 1 - t hfill cr  z = 2t. hfill cr}  ight.)

b) Tìm tọa độ điểm đối xứng của ({M_0}( - 3;1; - 1)) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (left( alpha  ight):4x - 3y - 13 = 0) và (left( {alpha '} ight):y - 2z + 5 = 0.)

c) Tìm độ điểm đối xứng của ({M_0}(2; - 1;1)) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (left( alpha  ight):y + z - 4 = 0) và (left( {alpha '} ight):2x - y - z + 2 = 0.)

Giải

a) Phương trình mặt phẳng qua điểm ({M_O}(2; - 1;1)) và vuông góc với đường thẳng d đã cho là

(2(x - 2) + left( { - 1} ight)left( {y + 1} ight) + 2left( {z - 1} ight) = 0)

(Leftrightarrow 2x - y + 2z - 7 = 0.)

Gọi (H(x;y;z)) là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng trên, ta có: (H = left( {{{17} over 9}; - {{13} over 9};{8 over 9}} ight).)

Gọi ({M_0}'left( {x;y;z} ight)) là điểm đối xứng với điểm ({M_o}) qua đường thẳng d thì H là trung điểm của đoạn thẳng({M_o}{M_o}') . Do đó

        (left{ matrix{  {{x + 2} over 2} = {{17} over 9} hfill cr  {{y - 1} over 2} =  - {{13} over 9} hfill cr  {{z + 1} over 2} = {8 over 9}. hfill cr}  ight.)

Vậy ({M_o}' = left( {{{16} over 9}; - {{17} over 9};{7 over 9}} ight).)

b) Ta xác định được vectơ chỉ phương của d là (overrightarrow {{u_d}}  = left( {3;4;2} ight).)

Khi đó phương trình mặt phẳng qua ({M_o}) và vuông góc với d là :

        (left( alpha  ight):3x + 4y + 2z + 7 = 0.)

Gọi (H(x;y;z)) là giao điểm của d và (left( alpha  ight)), ta có ({H}= left( {1; - 3;1} ight).)

Gọi (M_o'left( {x;y;z} ight)) là điểm đối xứng của ({M_o}) qua d, ta có (M_o' = (5; - 7;3).)

c) Ta xác định vectơ chỉ phương của d:

(overrightarrow {{u_d}}  = left( {left| {matrix{   1 & 1  cr   { - 1} & { - 1}  cr  } } ight|;left| {matrix{   1 & 0  cr   { - 1} & 2  cr  } } ight|;left| {matrix{   0 & 1  cr   2 & { - 1}  cr  } } ight|} ight))

      (= left( {0;2; - 2} ight).)

Gọi (left( alpha  ight)) là mặt phẳng qua ({M_o}) và vuông góc với d, khi đó (left( alpha  ight)) có phương trình: (y - z + 2 = 0.)

Gọi H là giao điểm của d với mp(left( alpha  ight)), toa độ của (H(x;y;z)) là nghiệm của hệ:

        (left{ matrix{  y + z - 4 = 0 hfill cr  2x - y - z + 2 = 0 hfill cr  y - z + 2 hfill cr}  ight. Rightarrow H = left( {1;1;3} ight).)

Từ đó, điểm (M_o') đối xứng với ({M_o}) qua d là (M_o' = left( {0;3;5} ight).)

Sachbaitap.com