Bài 88 trang 138 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét hai mặt phẳng

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét hai mặt phẳng

(({alpha _m}):3mx + 5sqrt {1 - {m^2}} y + 4mz + 20 = 0,)

(m in left[ { - 1;1} ight])

a) Tính khoảng cách từ gốc O tới mặt phẳng (({alpha _m}).)

b) Chứng minh rằng với mọi (min [-1;1]) ,(({alpha _m})) tiếp xúc với một mặt cầu cố định.

c) Với giá trị nào của m, hai mặt phẳng (({alpha _m})) và (Oxz) cắt nhau ? Khi m thay đổi, chứng minh rằng các giao tuyến đó song song.

Giải

a) (dleft( {O,left( {{alpha _m}} ight)} ight) = {{20} over {sqrt {9{m^2} + 25left( {1 - {m^2}} ight) + 16{m^2}} }} = {{20} over {sqrt {25} }} = 4.)

b) Từ câu a) suy ra rằng : khi m thay đổi, các mặt phẳng (({alpha _m})) luôn tiếp xúc với mặt cầu cố định tâm O và bán kính bằng 4.

c) Mặt phẳng (({alpha _m})) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n  = left( {3m;5sqrt {1 - {m^2}} ;4m} ight)) vì vậy (({alpha _m})) cắt mp(Oxz) (có vectơ pháp tuyến(overrightarrow j  = { m{ }}left( {0{ m{ }};{ m{ }}1{ m{ }};{ m{ }}0} ight))) khi và chỉ khi (m e 0).

Khi đó, giao tuyến ({Delta _m}) của mp(({alpha _m})) và mp(Oxz) là giao tuyến của hai mặt phẳng :

(3mx + { m{ }}5sqrt {1 - {m^2}} y{ m{ }} + { m{ }}4mz + { m{ }}20{ m{ }} = { m{ }}0) và (y = { m{ }}0.)

Do đó, vectơ chỉ phương của ({Delta _m}) là:

Vì (m e 0) nên (overrightarrow {u'}  = { m{ }}left( {4{ m{ }};{ m{ }}0{ m{ }};{ m{ }} - 3} ight)) là một vectơ chỉ phương của ({Delta _m}).

Do (overrightarrow {u'} )  không phụ thuộc vào m nên các giao tuyến ({Delta _m}) song song với nhau khi m thay đổi.

Sachbaitap.com