Bài 85 trang 137 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d1

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁(-23;-10;0), có vecto chỉ phương (overrightarrow {{u_1}} ) (8 ; 4; 1) và đường thẳng d₂ đi qua điểm M₂(3; -2; 0), có vecto chỉ phương (overrightarrow {{u_2}} (2; -2; 1)).

a) Viết phương trình các mặt phẳng (P₁), (P₂) lần lượt đi qua d₁, d₂ và song song với nhau

b) Tính khoảng cách giữa d₁ và d₂.

c) Viết phương trình đường thẳng  (Delta ) song song với Oz và cắt cả d₁, d₂.

Giải

a) Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương là (overrightarrow {{u_1}}  = (8 ; 4 ; 1)).

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương là (overrightarrow {{u_2}}  = (2 ; -2 ; 1)).

Vì (left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } ight] = left( {6{ m{ }};{ m{ }} - 6{ m{ }};{ m{ }} - 24} ight)) nên (overrightarrow n ) = (1 ; -1 ; -4) là một vectơ pháp tuyến của (P₁) và (P₂).

Mặt phẳng (P₁) đi qua M₁ (-23 ; -10 ; 0) nên có phương trình:

(left( {x + 23} ight) - left( {y + 10} ight) - 4z = 0) hay (x - y - 4z + 13 = 0.)

Mặt phẳng (P₂) đi qua M₂(3 ; -2 ; 0) nên có phương trình:

(left( {x - 3} ight) - left( {y + 2} ight) - 4z = 0) hay (x - y - 4z - 5 = 0.)

b) Khoảng cách h giữa d₁ và d₂ bằng khoảng cách từ điểm M bất kì thuộc (P₁) tới (P₂). Lấy M = (0 ; 1 ; 3), ta có (h = {{left| { - 1 - 12 - 5} ight|} over {sqrt {{1^2} + {1^2} + {4^2}} }} = {{18} over {sqrt {18} }} = 3sqrt {2.} )

c) Gọi ((alpha )) là mặt phẳng đi qua d₁ và song song với Oz,

((alpha )) có phương trình : (x{ m{ }} - { m{ }}2y + { m{ }}3{ m{ }} = { m{ }}0)  (vì (overrightarrow {{n_alpha }}  = left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow k } ight])).

Tương tự, mặt phẳng ((eta )) đi qua d₂ và song song với Oz có phương trình :

(x + y - { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0)  (vì (overrightarrow {{n_eta }}  = left[ {overrightarrow {{u_2}} ,overrightarrow k } ight])).

Dễ thấy giao tuyến của hai mặt phẳng ((alpha )) và ((eta )) chính là đường thẳng (Delta ) cần tìm.

(Delta ) có phương trình là: (left{ matrix{   hfill cr  x = {{ - 1} over 3} hfill cr  y = {4 over 3} hfill cr  z = t. hfill cr}  ight.)

Sachbaitap.com