Bài 6 trang 70 Hình học 10 Nâng cao: Trong mặt phẳng tọa độ, cho...

Trong mặt phẳng tọa độ, cho (overrightarrow e  = (4,;,1)) và (overrightarrow f  = (1,;,4)).

a) Tìm góc giữa các vec tơ (overrightarrow e ) và (overrightarrow f ).

b) Tìm m để vec tơ (overrightarrow a  = overrightarrow e  + moverrightarrow f ) vuông góc với trục hoành.

c) Tìm n để vec tơ (overrightarrow b  = noverrightarrow e  + overrightarrow f ) tạo với vec tơ (overrightarrow i  + overrightarrow j ) một góc ({45^0}).

Hướng dẫn trả lời

a) Góc giữa các vectơ (overrightarrow e ) và (overrightarrow f )

(eqalign{
& cos (overrightarrow {e,} ,,,overrightarrow f ) = {{overrightarrow {e,} .,overrightarrow f } over {|overrightarrow {e,} |.,|overrightarrow {f|} }} = {{4.1 + 1.4} over {sqrt {{4^2} + {1^2}} .sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = {8 over {17}} cr
& Rightarrow ,,,(overrightarrow {e,} ,,,overrightarrow f ) approx {61^0}{56′} cr} )

b) Ta có (overrightarrow a  = overrightarrow {e,}  + moverrightarrow {f,}  = (4 + m,;,1 + 4m)).

(overrightarrow a  = overrightarrow e  + moverrightarrow f ) vuông góc với trục hoành ( Leftrightarrow ,,overrightarrow a .,overrightarrow i  = 0,, Leftrightarrow ,,4 + m = 0,, Leftrightarrow m =  – 4) .

c) Ta có

(eqalign{
& ,,overrightarrow b = noverrightarrow e + overrightarrow f = (4n + 1,;,n + 4),;,,overrightarrow i + overrightarrow j = (1,;,1) cr
& ,,(overrightarrow b ,;,overrightarrow i + overrightarrow j ) = {45^0},,,,,,,, Rightarrow ,,cos {45^0} = {{overrightarrow b ,.,(,overrightarrow i + overrightarrow j )} over {|overrightarrow b ,|.,|,overrightarrow i + overrightarrow j |}} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Rightarrow ,,{{sqrt 2 } over 2} = {{(4n + 1) + (n + 4)} over {sqrt {{{(4n + 1)}^2} + {{(n + 4)}^2}} .,sqrt {{1^2} + {1^2}} }} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Rightarrow ,,{(4n + 1)^2} + {(n + 4)^2} = {(5n + 5)^2} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Rightarrow ,,8{n^2} + 34n + 8 = 0,, Rightarrow ,,n = {{ – 1} over 4},;,,n = – 4. cr} )

Thử lại với (n =  – 4) ta có (overrightarrow b  = ( – 15,;,0)).

                              (cos (overrightarrow b ,;,overrightarrow i  + overrightarrow j ) = {{ – 15} over {15.sqrt 2 }} =  – {1 over {sqrt 2 }}) (loại)

Với (n = {{ – 1} over 4},,;,,overrightarrow b  = left( {0,;,{{15} over 4}} ight))

                               (cos (overrightarrow b ,;,overrightarrow i  + overrightarrow j ) = {1 over {sqrt 2 }}) (nhận).

Vậy (n = {{ – 1} over 4}).