Bài 30 trang 66 Hình học 10 Nâng cao: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD....

Bài 30. Cho tứ giác (ABCD). Gọi (M, N) lần lượt là trung điểm của (AC) và (BD). Chứng minh rằng (A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2}).

Hướng dẫn trả lời

Áp dụng công thức tính trung tuyến, (MN) là trung tuyến của tam giác (BMD), ta có

(M{N^2} = {{B{M^2} + D{M^2}} over 2} – {{B{D^2}} over 4},,,,, Leftrightarrow ,,4M{N^2} = 2(B{M^2} + D{M^2}) – B{D^2},,,(1))

Tương tự, (BM, DM) lần lượt là trung tuyến của tam giác (ABC, ADC) nên

(eqalign{
& 4B{M^2} = 2(A{B^2} + B{C^2}) – A{C^2},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2) cr
& 4D{M^2} = 2(D{A^2} + C{D^2}) – A{C^2},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(3) cr} )

Từ (2), (3) suy ra

(2(B{M^2} + D{M^2}) = A{B^2}, + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} – A{C^2},,(4))

Thay (4) vào (1), ta có

(eqalign{
& ,,,,,,,,4M{N^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} – A{C^2} – B{D^2} cr
& Rightarrow ,,,A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2} cr} )