Bài 32 trang 66 Hình học 10 Nâng cao: Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai...

Bài 32. Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.

Hướng dẫn trả lời

Gọi (I) là giao điểm của hai đường chéo (AC, BD) và (widehat {AIB} = alpha ).

Ta có ({S_{ABI}} = {1 over 2}AI.BI.sin alpha ,,,,,,{S_{ADI}} = {1 over 2}AI.DI.sin ({180^0} – alpha ) = ,{1 over 2}AI.DI.sin alpha ,)

Suy ra ({S_{ABD}} = {S_{ABI}} + {S_{ADI}} = {1 over 2}AI.(BI + DI).sin alpha  = {1 over 2}AI.BD.sin alpha )

Tương tự ta suy ra ({S_{BCD}} = {S_{BIC}} + {S_{CDI}} = {1 over 2}CI.BD.sin alpha )

Từ đó suy ra

({S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}} = {1 over 2}.BD.(AI + CI).sin alpha  = {1 over 2}.BD.AC.sin alpha. )