Bài 51 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 51 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:

Bài 51.Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị các hàm số (y = 4 - {x^2},y =  - x + 2;)
b) Các đường cong có phương trình (x = 4 - 4{y^2}) và (x = 1 - {y^4}) trong miền (xge0).

Giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

(4 - {x^2} = - x + 2 Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = - 1 hfill cr
x = 2 hfill cr} ight.)

Do đó 

(eqalign{
& S = intlimits_{ - 1}^2 {left| {4 - {x^2} - left( { - x + 2} ight)} ight|} dx = intlimits_{ - 1}^2 {left| { - {x^2} + x + 2} ight|} dx cr
& ,,, = intlimits_{ - 1}^2 {left( { - {x^2} + x + 2} ight)} dx = left. {left( { - {{{x^3}} over 3} + {{{x^2}} over 2} + 2x} ight)} ight|_{ - 1}^2 = {9 over 2} cr} )

b) Phương trình tung độ giao điểm của hai đồ thị là

(4 - 4{y^2} = 1 - {y^4} Leftrightarrow {y^4} - 4{y^2} + 3 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
{y^2} = 1 hfill cr
{y^2} = 3 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
y = pm 1 hfill cr
y = pm sqrt 3; ( ext{ loại vì } x<0)hfill cr} ight.)

Diện tích giới hạn hai đồ thị ở phần (x ge 0) là:

(eqalign{
& S = intlimits_{ - 1}^1 {left[ {4 - 4{y^2} - left( {1 - {y^4}} ight)} ight]} dy cr
& ,,, = intlimits_{ - 1}^1 {left( {{y^4} - 4{y^2} + 3} ight)} dy cr
& ,, = left. {left( {{{{y^5}} over 5} - {4 over 3}{y^3} + 3y} ight)} ight|_{ - 1}^1 = 2.{{28} over {15}} = {{56} over {15}} cr} )

soanbailop6.com