Bài 47 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 47 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số f liên tục trên Tỉ số : được gọi là giá trị trung bình của hàm số f trên và được kí hiệu là . Chứng minh rằng tồn tại điểm sao cho

Bài 47. Cho hàm số f liên tục trên (left[ {a;b} ight].) Tỉ số : ({1 over {b - a}}intlimits_a^b {fleft( x ight)} dx) được gọi là giá trị trung bình của hàm số f trên (left[ {a;b} ight]) và được kí hiệu là (mleft( f ight)). Chứng minh rằng tồn tại điểm (c in left[ {a;b} ight]) sao cho (mleft( f ight) = fleft( c ight))

Giải

Giả sử m và M tương ứng là giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số f trên (left[ {a;b} ight]).
Ta có (m le fleft( x ight) le M,,forall x in left[ {a;b} ight])
Theo kết quả

(f(x)>g(x)) trên đoạn ([a;b]) thì (intlimits_a^b {f(x)} dx > intlimits_a^b {g(x)dx} )

Ta có:

(eqalign{
& intlimits_a^b {mdx le intlimits_a^b {fleft( x ight)dx} } le intlimits_a^b {Mdx} Rightarrow mleft( {b - a} ight) le intlimits_a^b {fleft( x ight)dx le Mleft( {b - a} ight)} cr
& Rightarrow m le {1 over {b - a}}intlimits_a^b {fleft( x ight)} dx le M cr} )

Vì (f) là hàm liên tục nên tồn tại (c in left[ {a;b} ight]) để (fleft( c ight) = {1 over {b - a}}intlimits_a^b {fleft( x ight)} dx.)

soanbailop6.com