Bài 5 trang 70 Hình học 10 Nâng cao: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là trung điểm của CD, M là điểm trên AC sao cho...

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là trung điểm của CD, M là điểm trên AC sao cho (AM = {1 over 4}AC.)

a)Tính các cạnh của tam giác BMN.

b) Có nhận xét gì về tam giác BMN ? Tính diện tích tam giác đó.

c) Gọi I là giao điểm của  BN và AC. Tính CI.

d) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN.

Hướng dẫn trả lời

a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì M là trung điểm AO.

(eqalign{
& B{N^2} = B{C^2} + N{C^2} cr
& ,,,,,,,,,,, = {a^2} + {{{a^2}} over 4} = {{5{a^2}} over 4},, Rightarrow ,,BN = {{asqrt 5 } over 2} cr
& B{M^2} = B{O^2} + O{M^2} cr
& ,,,,,,,,,,,, = {left( {{{asqrt 2 } over 2}} ight)^2} + {left( {{{asqrt 2 } over 4}} ight)^2} = {{5{a^2}} over 8} cr
& ,,,, Rightarrow ,,BM = {{asqrt {10} } over 4} cr} )

Kẻ MP // AD ta có

 (M{N^2} = M{P^2} + P{N^2} = {left( {{{3a} over 4}} ight)^2} + {left( {{a over 4}} ight)^2} = {{10{a^2}} over {16}},,)

(Rightarrow ,,MN = {{asqrt {10} } over 4})

b) Ta có

(MB = MN,,,,B{N^2} = M{B^2} + M{N^2}) nên tam giác BMN vuông cân tại M. Diện tích tam giác BMN là

                       ({S_{BMN}} = {1 over 2}M{N^2} = {1 over 2}.{{10{a^2}} over {16}} = {{5{a^2}} over {16}})

c) Ta có I là trọng tâm tam giác BCD nên (IC = {2 over 3}IO = {2 over 3}.a.{{sqrt 2 } over 2} = {{asqrt 2 } over 3}).

d) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN.

Áp dụng định lí sin ta có

            ({{BN} over {sin widehat {BDN}}} = 2R,, Rightarrow ,,R = ,{{BN} over {2sin {{45}^0}}} = {{asqrt 5 } over 2}.{1 over {sqrt 2 }} = {{asqrt {10} } over 4})