Bài 2 trang 69 Hình học 10 Nâng cao: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC....

Bài 2. Gọi (G) là trọng tâm tam giác (ABC).

a) Chứng minh rằng với mọi điểm (M), ta luôn có

(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}).

b) Tìm tập hợp các điểm (M) sao cho (M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2}), trong đó (k) là một số cho trước.

Hướng dẫn trả lời

Ta có

(eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {overrightarrow {MA} ^2} + {overrightarrow {MB} ^2} + {overrightarrow {MC} ^2} cr
&= {(overrightarrow {GA} – overrightarrow {GM} )^2} + {(overrightarrow {GB} – overrightarrow {GM} )^2} + {(overrightarrow {GC} – overrightarrow {GM} )^2} cr
&  = {overrightarrow {GA} ^2} + {overrightarrow {GB} ^2} + {overrightarrow {GC} ^2} + 3{overrightarrow {MG} ^2} – 2overrightarrow {GM} (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} ) cr
&= 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} cr} )

b)  Áp dụng câu a), ta có

 (M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {k^2},, Leftrightarrow ,,3M{G^2} = {k^2} – (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}))

+) Nếu ({k^2} > G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}) thì tập hợp các điểm (M) là đường tròn tâm (G) bán kính (sqrt {{1 over 3}left[ {{k^2} – (G{A^2} + G{B^2} + G{C^2})} ight]} ).

+) Nếu ({k^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}) thì tập hợp các điểm (M) chỉ gồm một phần tử là (G).

+) Nếu ({k^2} < G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}) thì tập hợp điểm (M) là tập rỗng.