Bài 3 trang 70 Hình học 10 Nâng cao: Cho hình bình hành ABCD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho...

Bài 3. Cho hình bình hành (ABCD). Tìm tập hợp các điểm (M) sao cho

(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2}), trong đó (k) là một số cho trước.

Hướng dẫn trả lời

Gọi (O) là tâm hình bình hành (ABCD), ta có

(eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {overrightarrow {MA} ^2} + {overrightarrow {MB} ^2} + {overrightarrow {MC} ^2} + {overrightarrow {MD} ^2} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = {(overrightarrow {OA} – overrightarrow {OM} )^2} + {(overrightarrow {OB} – overrightarrow {OM} )^2} + {(overrightarrow {OC} – overrightarrow {OM} )^2} + {(overrightarrow {OD} – overrightarrow {OM} )^2} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} + O{D^2} + 4O{M^2} – 2overrightarrow {OM} (overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} + overrightarrow {OD} ) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = 2(O{A^2} + O{B^2}) + 4O{M^2} cr} )

Do đó (M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {k^2},, Leftrightarrow ,,,4O{M^2} = {k^2} – 2(O{A^2} + O{B^2})).

+) Nếu ({k^2} > 2(O{A^2} + O{B^2})) thì tập hợp các điểm (M) là đường tròn tâm (O) bán kính (sqrt {{1 over 4}left[ {{k^2} – 2(O{A^2} + O{B^2})} ight]} ).

+) Nếu ({k^2} = 2(O{A^2} + O{B^2})) thì tập hợp các điểm (M) chỉ gồm một phần tử là (O).

+) Nếu ({k^2} < 2(O{A^2} + O{B^2})) thì tập hợp điểm (M) là tập rỗng.