Bài 5.8 trang 220 sách bài tập – Giải tích 12: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau trên các...

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau trên các khoảng, đoạn tương ứng:

a) g(x) = |x³ + 3x² – 72x + 90| trên đoạn [-5; 5]

b) f(x) = x⁴ – 4x² + 1 trên đoạn [-1; 2]

c) f(x) = x – ln x + 3 trên khoảng ((0; + infty ))

Hướng dẫn làm bài

a) Xét hàm số (f(x) = {x^3} + 3{x^2} – 72x + 90)  trên đoạn [-5; 5]

(f'(x) = 3{x^2} + 6x – 72;f'(x) = 0Leftrightarrow left[ {matrix{{x = 4} cr {x = – 6 otin { m{[}} – 5;5]} cr} } ight.)

(f( – 5) = 400;f(5) =  – 70;f(4) =  – 86)

Ngoài ra, f(x) liên tục trên đoạn [-5; 5] và (f( – 5).f(5) < 0) nên tồn tại ({x_0} in ( – 5;5)) sao cho (f({x_0}) = 0)

Ta có (g(x) = |f(x)| ge 0) và (g({x_0}) = |f({x_0})| = 0;g( – 5) = |400| = 400);

 (g(5) = |-70| = 70 ; g(4) = |f(4)| = |-86| = 86)

Vậy (mathop {min g(x)}limits_{{ m{[}} – 5;5]}  = g({x_0}) = 0;mathop {{ m{max }}g(x)}limits_{{ m{[}} – 5;5]}  = g( – 5) = 400)

b)  (mathop {min f(x)}limits_{{ m{[}} – 1;2]}  = f(sqrt 2 ) =  – 3;mathop {{ m{max f}}(x)}limits_{{ m{[}} – 1;2]}  = f(2) = f(0) = 1)

c) (mathop {min f(x)}limits_{(0; + infty )}  = f(1) = 4) . Không có giá trị lớn nhất.