Bài 5.15 trang 221 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12: Giải các phương trình sau:...

Giải các phương trình sau:

a)  ({({{13} over {24}})^{3x + 7}} = {({{24} over {13}})^{2x + 3}})                                   

b) ({(4 – sqrt {15} )^{ an x}} + {(4 + sqrt {15} )^{ an x}} = 8)

c) ({( oot 3 of {6 + sqrt {15} } )^x} + {( oot 3 of {7 – sqrt {15} } )^x} = 13)

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình đã cho tương đương với

({left( {{{13} over {24}}} ight)^{3x + 7}} = {left( {{{13} over {24}}} ight)^{ – left( {2x + 3} ight)}})

(Leftrightarrow 3x + 7 = –2x – 3Leftrightarrow x = –2)

b) Vì  ((4 – sqrt {15} )(4 + sqrt {15} ) = 1)   nên ta đặt ({(4 – sqrt {15} )^{ an x}} = t(t > 0)) , ta được phương trình  

(;{t^2}-{ m{ }}8t{ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0 Leftrightarrow left[ {matrix{{t = 4 + sqrt {15} } cr {t = 4 – sqrt {15} } cr} } ight.)

+) Ứng với (t = 4 – sqrt {15} ) , ta có 

({(4 – sqrt {15} )^{tanx}} = 4 – sqrt {15})

(Leftrightarrow an  = 1 Leftrightarrow x = {pi  over 4} + kpi ,k in Z)

+) Ứng với (t = 4 + sqrt {15} ) , ta có

({(4 – sqrt {15} )^{tanx}} = 4 + sqrt {15})

( Leftrightarrow  an  =  – 1 Leftrightarrow x =  – {pi  over 4} + kpi ,k in Z)

Vậy phương trình có nghiệm (x = {pi  over 4} + k{pi  over 2},k in Z)

c) Ta nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình. Mặt khác, hàm số 

(f(x) = {( oot 3 of {6 + sqrt {15} } )^x} + {( oot 3 of {7 – sqrt {15} } )^x})

Là tổng của hai hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1 (hai hàm số đồng biến) nên f(x) đồng biến trên R. Do đó, x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình.