Bài 5.12 trang 221 sách bài tập – Giải tích 12: Cho a, b, x là những số dương. Đơn giản các biểu thức...

Cho a, b, x là những số dương. Đơn giản các biểu thức sau:

a) (A = {{ m{[}}{{2a + {{(ab)}^{{1 over 2}}}} over {3a}}{ m{]}}^{ – 1}}{ m{[}}{{{a^{{3 over 2}}} – {b^{{3 over 2}}}} over {a – {{(ab)}^{{1 over 2}}}}} – {{a – b} over {sqrt a  + sqrt b }}{ m{]}})

b)  (B = {({{sqrt a  + sqrt x } over {sqrt {a + x} }} – {{sqrt {a + x} } over {sqrt a  + sqrt x }})^{ – 2}} – {({{sqrt a  – sqrt x } over {sqrt {a + x} }} – {{sqrt {a + x} } over {sqrt a  – sqrt x }})^{ – 2}})

c) (C = sqrt {{{16}^{{1 over {{{log }_7}4}}}} + {{81}^{{1 over {{{log }_6}9}}}} + 15} )

d) (D = {49^{1 – {{log }_7}2}} + {5^{ – {{log }_5}4}})

Hướng dẫn làm bài

Do a, b, x là những số dương nên ta có:

a) ({A_1} = {{ m{[}}{{2a + {{(ab)}^{{1 over 2}}}} over {3a}}{ m{]}}^{ – 1}} = {{3a} over {2a + {{(ab)}^{{1 over 2}}}}} = {{3{a^{{1 over 2}}}} over {2{a^{{1 over 2}}} + {b^{{1 over 2}}}}})

 ({A_2} = left[ {{{{a^{{3 over 2}}} – {b^{{3 over 2}}}} over {a – {{(ab)}^{{1 over 2}}}}}} ight. – left. {{{a – b} over {sqrt a  + sqrt b }}} ight])

(= {{({a^{{1 over 2}}} – {b^{{1 over 2}}})(a + {{(ab)}^{{1 over 2}}} + b)} over {{a^{{1 over 2}}}({a^{{1 over 2}}} – {b^{{1 over 2}}})}} – ({a^{{1 over 2}}} – {b^{{1 over 2}}}))

( = {{a + {{(ab)}^{{1 over 2}}} + b – {a^{{1 over 2}}}({a^{{1 over 2}}} – {b^{{1 over 2}}})} over {{a^{{1 over 2}}}}} = {{2{a^{{1 over 2}}}{b^{{1 over 2}}} + b} over {{a^{{1 over 2}}}}} = {{{b^{{1 over 2}}}(2{a^{{1 over 2}}} + {b^{{1 over 2}}})} over {{a^{{1 over 2}}}}})     

Vậy (A = {A_1}.{A_2} = {{3{a^{{1 over 2}}}} over {2{a^{{1 over 2}}} + {b^{{1 over 2}}}}}.{{{b^{{1 over 2}}}(2{a^{{1 over 2}}} + {b^{{1 over 2}}})} over {{a^{{1 over 2}}}}} = 3sqrt b )

b) ({B_1} = {({{sqrt a  + sqrt x } over {sqrt {a + x} }} – {{sqrt {a + x} } over {sqrt a  + sqrt x }})^{ – 2}} = {{(a + x){{(sqrt a  + sqrt x )}^2}} over {4ax}})

({B_2} = {({{sqrt a  – sqrt x } over {sqrt {a + x} }} – {{sqrt {a + x} } over {sqrt a  – sqrt x }})^{ – 2}} = {{(a + x){{(sqrt a  – sqrt x )}^2}} over {4ax}})

Vậy  (B = {B_1} – {B_2} = {{a + x} over {sqrt {ax} }})

c) Ta có  ({16^{{1 over {{{log }_7}4}}}} = {4^{2{{log }_4}7}} = 49;{81^{{1 over {{{log }_6}9}}}} = 36)

(Rightarrow C = sqrt {49 + 36 + 15}  = 10)

d) Ta có  ({49^{1 – {{log }_7}2}} = {{49} over {{{49}^{{{log }_7}2}}}} = {{49} over 4};{5^{ – {{log }_5}4}} = {1 over 4})

(Rightarrow D = {{49} over 4} + {1 over 4} = {{25} over 2}).