Bài 42 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao, Bằng cách biển diễn hình học các số phức 2 + i, 5+ i và 8 + i, hãy chứng minh rằng...

Bài 42

a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i và 3 + i, hãy chứng minh rằng nếu ( an a = {1 over 2},, an b = {1 over 3})với (a,b in left( {0;{pi  over 2}} ight)) thì (a + b = {pi  over 4}).

b) Bằng cách biển diễn hình học các số phức 2 + i, 5+ i và 8 + i, hãy chứng minh rằng nếu ( an a = {1 over 2},, an b = {1 over 5},, an c = {1 over 8}) với (a,b,c in left( {0;{pi  over 2}} ight)) thì (a + b + c = {pi  over 4}).

Giải

a) Biểu diễn hình học (2 + i, 3 + i) theo thứ tự bới M và N trong mặt phẳng phức

ta có: ( an left( {Ox,,OM} ight) = {1 over 2} = an a)

          ( an left( {Ox,,ON} ight) = {1 over 3} = an b)

Xét (z.z’ = (2 + i).(3 + i) = 5(1 + i) )

               (= 5sqrt 2 left( {cos {pi  over 4} + isin {pi  over 4}} ight))

Số (zz’) có acgumen là ({{pi  over 4}}), suy ra (a + b = {pi  over 4})

b)

({z_1} = 2 + i) có một acgumen là a với ( an a = {1 over 2})

({z_2} = 5 + i) có một acgumen là b với ( an b = {1 over 5})

({z_3} = 8 + i) có một acgumen là c với ( an c = {1 over 8})

Xét (z = {z_1}{z_2}{z_3} = left( {2 + i} ight)left( {5 + i} ight)left( {8 + i} ight) = 65left( {1 + i} ight))

     (,,, = 65sqrt 2 left( {{{sqrt 2 } over 2} + i{{sqrt 2 } over 2}} ight) = 65sqrt 2 left( {cos {pi  over 4} + isin {pi  over 4}} ight))

(z) có acgumen là ({pi  over 4}), suy ra (a + b + c = {pi  over 4})