Bài 12 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn...

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức (z) thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) (z^2) là số thực âm;

b  (z^2) là là số ảo;

c) ({z^2} = {left( {overline z } ight)^2});

d) ({1 over {z – i}}) là số ảo.

Giải

Giả sử (z=x+yi)

a) ({z^2} = {left( {x + yi} ight)^2} = {x^2} – {y^2} + 2xyi)

(z^2) là số thực âm( Leftrightarrow left{ matrix{  xy = 0 hfill cr  {x^2} – {y^2} < 0 hfill cr}  ight. Leftrightarrow left{ matrix{  x = 0 hfill cr  y e 0 hfill cr}  ight.)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục (Oy) trừ điểm (O).

b)  ({z^2} = {x^2} – {y^2} + 2xyi)

(z^2) là số ảo ( Leftrightarrow {x^2} – {y^2} = 0 Leftrightarrow x = y) hoặc (y = -x)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hai đường phân giác của các gốc tọa độ.

c)

Ta có ({z^2} = {left( {overline z } ight)^2} Leftrightarrow {x^2} – {y^2} + 2xyi ={x^2} – {y^2} – 2xyiLeftrightarrow xy = 0 Leftrightarrow left[ matrix{  x = 0 hfill cr  y = 0 hfill cr}  ight.)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là các trục tọa độ.

d) ({1 over {z – i}}) là số ảo ( Leftrightarrow z – i) là số ảo và (z e i Leftrightarrow z) là số ảo khác i.

Vậy tập hợp các điểm cầm tìm là trục ảo trừ điểm (I(0; 1)) biểu diễn số (i).