Bài 14 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn...

Bài 14

a) Cho số phức (z=x+yi) . Khi (z e i), hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức ({{z + i} over {z – i}})

b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức (z) thỏa mãn điều kiện ({{z + i} over {z – i}}) là số thực dương.

Giải

a) Ta có:

   ({{z + i} over {z – i}} = {{x + left( {y + 1} ight)i} over {x + left( {y – 1} ight)i}} = {{left[ {x + left( {y + 1} ight)i} ight]left[ {x – left( {y – 1} ight)i} ight]} over {{x^2} + {{left( {y – 1} ight)}^2}}} = {{{x^2} + {y^2} – 1} over {{x^2} + {{left( {y – 1} ight)}^2}}} + {{2x} over {{x^2} + {{left( {y – 1} ight)}^2}}}i)

Vậy phần thực là ({{{x^2} + {y^2} – 1} over {{x^2} + {{left( {y – 1} ight)}^2}}}), phần ảo là ({{2x} over {{x^2} + {{left( {y – 1} ight)}^2}}}).

b) Với (z e i), ({{z + i} over {z – i}}) là số thực dương khi và chỉ khi

(left{ matrix{  x = 0 hfill cr  {x^2} + {y^2} – 1 > 0 hfill cr}  ight.)

( Leftrightarrow left{ matrix{
x = 0 hfill cr
{y^2} > 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = 0 hfill cr
left[ matrix{
y > 1 hfill cr
y < – 1 hfill cr} ight. hfill cr} ight.)

Vậy quỹ tích là trục ảo bỏ đoạn thẳng nối (I, J) ( (I) biểu diễn (i) và (J) biểu diễn (-i)).