Bài 17 trang 195 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:...

Bài 17

Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:( – i);(4i);( – 4);(1 + 4sqrt 3 i).

Giải

* Giả sử (z=x+yi) là căn bậc hai của (-i), ta có:

({left( {x + yi} ight)^2} =  – i Leftrightarrow {x^2} – {y^2} + 2xyi =  – i Leftrightarrow left{ matrix{  {x^2} – {y^2} = 0,,left( 1 ight) hfill cr  2xy =  – 1,,,,,,left( 2 ight) hfill cr}  ight.)

Từ (2) suy ra (y =  – {1 over {2x}}) thế vào (1) ta được:

({x^2} – {1 over {4{x^2}}} = 0 Leftrightarrow {x^4} = {1 over 4} Leftrightarrow x =  pm {1 over {sqrt 2 }})

+) Với (x = {1 over {sqrt 2 }})ta có (y =  – {1 over {2x}} =  – {1 over {sqrt 2 }})

+) Với (x =  – {1 over {sqrt 2 }})ta có (y =  – {1 over {2x}} = {1 over {sqrt 2 }})

Hệ có hai nghiệm là: (left( { – {1 over {sqrt 2 }},{1 over {sqrt 2 }}} ight),left( {{1 over {sqrt 2 }}, – {1 over {sqrt 2 }}} ight))

Vậy (–i) có hai căn bậc hai là: ({z_1} =  – {1 over {sqrt 2 }} + {1 over {sqrt 2 }}i),({z_2} = {1 over {sqrt 2 }} – {1 over {sqrt 2 }}i)

* Giả sử (z=x+yi) là căn bậc hai của (4i), ta có:

({left( {x + yi} ight)^2} = 4i Leftrightarrow {x^2} – {y^2} + 2xyi = 4i Leftrightarrow left{ matrix{  {x^2} – {y^2} = 0,,left( 1 ight) hfill cr  xy = 2,,,,,,,,,,,,left( 2 ight) hfill cr}  ight.)

Thay (y = {2 over x}) vào phương trình thứ nhất ta được:

({x^2} – {4 over {{x^2}}} = 0 Leftrightarrow {x^4} = 4 Leftrightarrow x =  pm sqrt 2 )

+) Với (x = sqrt 2 ) ta có (y = {2 over x} = sqrt 2 );            

+) Với (x =  – sqrt 2 ) ta có (y =  – sqrt 2 )

Hệ có hai nghiệm (left( {sqrt 2 ;sqrt 2 } ight)),(left( { – sqrt 2 ; – sqrt 2 } ight))

Vậy (4i) có hai căn bậc hai là:({z_1} = sqrt 2  + sqrt 2 i);        ({z_2} =  – sqrt 2  – sqrt 2 i)

* Ta có ( – 4 = 4{i^2} = {left( {2i} ight)^2}) do đó (-4) có hai căn bậc hai là ( pm 2i)

* Giả sử  (z=x+yi) là căn bậc hai của (1 + 4sqrt 3 i).

({left( {x + yi} ight)^2} = 1 + 4sqrt 3 i)

( Leftrightarrow left{ matrix{  {x^2} – {y^2} = 1 hfill cr  ,2xy = 4sqrt 3 , hfill cr}  ight.)( Leftrightarrow left{ matrix{  y = {{2sqrt 3 } over x} hfill cr  {x^2} – {{12} over {{x^2}}} hfill cr}  ight. Leftrightarrow left{ matrix{  y = {{2sqrt 3 } over x} hfill cr  {x^2} = 4 hfill cr}  ight. Leftrightarrow left{ matrix{  x = 2 hfill cr  y = sqrt 3  hfill cr}  ight.)hoặc (left{ matrix{  x =  – 2 hfill cr  y =  – sqrt 3  hfill cr}  ight.)

Hệ có hai nghiệm (left( {2;sqrt 3 } ight),left( { – 2; – sqrt 3 } ight))

Vậy (1 + 4sqrt 3 i) có hai căn bậc hai là:({z_1} = 2 + sqrt 3 i),({z_2} =  – 2 – sqrt 3 i)