Bài 25 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm các số thực b, c để phương trình...

Bài 25

a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z):

                ({z^2} + bz + c = 0) 

nhận (z = 1 + i) làm một nghiệm.

b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z):

                      ({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0) 

nhận (z = 1 + i) làm nghiệm và cũng nhận (z = 2) là nghiệm.

Giải

a) (1 + i) là một nghiệm của phương trình ({z^2} + bz + c = 0) khi và chỉ khi

({left( {1 + i} ight)^2} + bleft( {1 + i} ight) + c = 0 Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0)

( Leftrightarrow b + c + left( {2 + b} ight)i = 0 Leftrightarrow left{ matrix{  b + c = 0 hfill cr  2 + b = 0 hfill cr}  ight. Leftrightarrow left{ matrix{  b =  – 2 hfill cr  c = 2 hfill cr}  ight.)

b) (1 + i) là một nghiệm của ({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0)  khi và chỉ khi

   ({left( {1 + i} ight)^3} + a{left( {1 + i} ight)^2} + bleft( {1 + i} ight) + c = 0 Leftrightarrow left( {b + c – 2} ight)+left( {2 + 2a + b} ight)i = 0)

( Leftrightarrow left{ matrix{  b + c – 2 = 0,,,,,,,,left( 1 ight) hfill cr  2a + b + 2 = 0,,,,,left( 2 ight) hfill cr}  ight.)

(2) là nghiệm của ({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0) khi và chỉ khi (8 + 4a + 2b + c = 0,,,left( 3 ight))

Từ (1), (2), (3) ta có hệ: .(left{ matrix{  b + c = 2 hfill cr  2a + b =  – 2 hfill cr  4a + 2b + c =  – 8 hfill cr}  ight. Leftrightarrow left{ matrix{  a =  – 4 hfill cr  b = 6 hfill cr  c =  – 4 hfill cr}  ight.)