Bài 24 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi...

Bài 24

Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):

a)({z^3} + 1 = 0);                                               

b) ({z^4} – 1 = 0);

c) ({z^4} + 4 = 0);                                          

d) (8{z^4} + 8{z^3} = z + 1).

Giải

a) ({z^3} + 1 = 0 Leftrightarrow left( {z + 1} ight)left( {{z^2} – z + 1} ight) = 0)

Nghiệm của (z + 1 = 0) là ({z_1} =  – 1)

({z^2} – z + 1 = 0 Leftrightarrow {left( {z – {1 over 2}} ight)^2} =  – {3 over 4} = {left( {{{sqrt 3 } over 2}i} ight)^2})              

                      ( Leftrightarrow left[ matrix{  z = {1 over 2} + {{sqrt 3 } over 2}i = {z_2} hfill cr  z = {1 over 2} – {{sqrt 3 } over 2}i = {z_3} hfill cr}  ight.)

Vậy (S = left{ { – 1;{1 over 2} + {{sqrt 3 } over 2}i;{1 over 2} – {{sqrt 3 } over 2}i} ight})

b) ({z^4} – 1 = 0 Leftrightarrow left( {{z^2} – 1} ight)left( {{z^2} + 1} ight) = 0)

                   ( Leftrightarrow left[ matrix{  {z^2} – 1 = 0 hfill cr  {z^2} + 1 = 0 hfill cr}  ight. Leftrightarrow left[ matrix{  z =  pm 1 hfill cr  z =  pm i hfill cr}  ight.)

Phương trình có 4 nghiệm ({z_1} = i,{z_2} =  – i,{z_3} = 1,{z_4} =  – 1)

c) ({z^4} + 4 = 0 Leftrightarrow left( {{z^2} + 2i} ight)left( {{z^2} – 2i} ight) = 0)

Nghiệm của ({z^2} + 2i = 0) là các căn bậc hai của -2i, đó là ({z_1} = 1 – i),({z_2} =  – 1 + i)

Nghiệm của ({z^2} – 2i = 0) là các căn bậc hai của 2i, đó là ({z_3} = 1 + i),({z_4} =  – 1 – i)

Vậy ({z^4} + 4 = 0) có bốn nghiệm ({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}).

d) (8{z^4} + 8{z^3} = z + 1 Leftrightarrow left( {z + 1} ight)left( {8{z^3} – 1} ight) = 0)

                          ( Leftrightarrow left( {z + 1} ight)left( {2z – 1} ight)left( {4{z^2} + 2z + 1} ight) = 0)

Nghiệm của (z + 1 = 0) là ({z_1} =  – 1)

Nghiệm của (2z – 1 = 0) là ({z_2} = {1 over 2})

Nghiệm của (4{z^2} + 2z + 1 = 0) hay ({left( {2z + {1 over 2}} ight)^2} + {3 over 4} = 0)là ({z_3} =  – {1 over 4} + {{sqrt 3 } over 4}i)  và({z_4} =  – {1 over 4} – {{sqrt 3 } over 4}i)

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm({z_1},{z_2},{z_3},{z_4})