Bài 19 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Giải các phương trình bậc hai sau:...

Bài 19

Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau:

a) ({z^2} = z + 1);

b) ({z^2} + 2z + 5 = 0)

c) ({z^2} + left( {1 – 3i} ight)z – 2left( {1 + i} ight) = 0).

Giải

a) Ta có ({z^2} = z + 1 Leftrightarrow {z^2} – z = 1 Leftrightarrow {z^2} – z + {1 over 4} = {5 over 4})

                              ( Leftrightarrow {left( {z – {1 over 2}} ight)^2} = {5 over 4} Leftrightarrow z – {1 over 2} =  pm {{sqrt 5 } over 2} Leftrightarrow z = {1 over 2} pm {{sqrt 5 } over 2})

b) ({z^2} + 2z + 5 = 0 Leftrightarrow {left( {z + 1} ight)^2} =  – 4 = {left( {2i} ight)^2} Leftrightarrow left[ matrix{  z + 1 = 2i hfill cr  z + 1 =  – 2i hfill cr}  ight. Leftrightarrow left[ matrix{  z =  – 1 + 2i hfill cr  z =  – 1 – 2i hfill cr}  ight.)

Vậy (S = left{ { – 1 + 2i; – 1 – 2i} ight})

c) ({z^2} + left( {1 – 3i} ight)z – 2left( {1 + i} ight) = 0) có biệt thức

                   (Delta  = {left( {1 – 3i} ight)^2} + 8left( {1 + i} ight) = 1 – 9 – 6i + 8 + 8i = 2i = {left( {1 + i} ight)^2})

Do đó phương trình có hai nghiệm là: ({z_1} = {1 over 2}left[ { – 1 + 3i + left( {1 + i} ight)} ight] = 2i)

({z_2} = {1 over 2}left[ { – 1 + 3i – left( {1 + i} ight)} ight] =  – 1 + i)

Vậy (S = left{ {2i; – 1 + i} ight})