Bài 40 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao, Xét các số phức:...

Bài 40. Xét các số phức: ({z_1} = sqrt 6  – isqrt 2 ;,,{z_2} =  – 2 – 2i;,,,{z_3} = {{{z_1}} over {{z_2}}})

a) Viết ({z_1};,{z_2};,{z_3}) dưới dạng lượng giác;

b) Từ câu a) hãy tính (cos {{7pi } over {12}}) và (sin {{7pi } over {12}}).

Giải

(eqalign{  & a);;z_1=sqrt 2 left( {sqrt 3  – i} ight) = 2sqrt 2 left[ {cos left( { – {pi  over 6}} ight) + isin left( { – {pi  over 6}} ight)} ight],  cr  & {z_2} = 2left( { – 1 – i} ight) = 2sqrt 2 left[ {cos left( { – {{3pi } over 4}} ight) + isin left( { – {{3pi } over 4}} ight)} ight],  cr & {z_3} = {{{z_1}} over {{z_2}}} = cos left( { – {pi  over 6} + {{3pi } over 4}} ight) + isin left( { – {pi  over 6} + {{3pi } over 4}} ight) = cos left( {{{7pi } over {12}}} ight) + isin left( {{{7pi } over {12}}} ight) cr} )

b) Mặt khác ({{{z_1}} over {{z_2}}} = {{sqrt 6  – isqrt 2 } over { – 2 – 2i}} = {{left( {sqrt 6  – isqrt 2 } ight)left( { – 2 + 2i} ight)} over 8} = {{ – sqrt 6  + sqrt 2 } over 4} + {{sqrt 6  + sqrt 2 } over 4}i) nên so sánh với kết quả câu a), suy ra:

                        (cos {{7pi } over {12}} = {{ – sqrt 6  + sqrt 2 } over 4};,sin {{7pi } over {12}} = {{sqrt 6  + sqrt 2 } over 4})