Bài 31 trang 206 SGK giải tích 12 nâng cao, Chứng minh rằng...

Bài 31. Cho các số phức ({ m{w}}= {{sqrt 2 } over 2}left( {1 + i} ight)) và (varepsilon  = {1 over 2}left( { – 1 + isqrt 3 } ight))

a) Chứng minh rằng ({z_o} = cos {pi  over {12}} + isin {pi  over {12}},,{z_1} = {z_o}varepsilon ,,{z_2} = {z_o}{varepsilon ^2}) là các nghiệm của phương trình ({z^3} – { m{w}} = 0;)

b) Biểu diễn hình học các số phức ({z_o},,{z_1},,{z_2})

Giải

a) Ta có: ({ m{w}} = cos {pi  over 4} + isin {pi  over 4})

(eqalign{  & varepsilon  = cos {{2pi } over 3} + isin {{2pi } over 3}  cr  & z_o^3 = {left( {cos {pi  over {12}} + isin {pi  over {12}}} ight)^3} = cos {pi  over 4} + isin {pi  over 4} ={ m{w}}  cr  & z_1^3 = {left( {{z_o}varepsilon } ight)^3} = z_o^3.{varepsilon ^3} = { m{w}} ,,left( { ext{vì},,,{varepsilon ^3} = 1} ight),  cr  & z_2^3 = {left( {z_o{varepsilon ^2}} ight)^3} = z_o^3{varepsilon ^6} = z_o^3 ={ m{w}}cr} )

b) Biểu diễn: Các điểm A, B, C lần lượt biểu diễn ({z_0},,,{z_1},,,{z_2})

Nhận xét: A,B,C tạo thành một tam giác đều.