Bài 21 trang 197 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm số phức B để phương trình bậc hai...

Bài 21

a) Giải phương trình: (left( {{z^2} + i} ight)left( {{z^2} – 2iz – 1} ight) = 0)

b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai ({z^2} + Bz + 3i = 0) có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.

Giải

a) Nhận xét:( – 2i = {left( {1 – i} ight)^2} Rightarrow  – i = {left( {{{1 – i} over {sqrt 2 }}} ight)^2})

Suy ra (–i) có căn bậc hai ( pm {{sqrt 2 } over 2}left( {1 – i} ight))

Ta có (left( {{z^2} + i} ight)left( {{z^2} – 2iz – 1} ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{  {z^2} + i = 0 hfill cr  {z^2} – 2iz – 1 = 0 hfill cr}  ight.)

* ({z^2} + i = 0 Leftrightarrow {z^2} =  – i Leftrightarrow z =  pm {{sqrt 2 } over 2}left( {1 – i} ight))

* ({z^2} – 2iz – 1 = 0 Leftrightarrow {left( {z – i} ight)^2} = 0 Leftrightarrow z = i)

Vậy (S = left{ {i;{{sqrt 2 } over 2}left( {1 – i} ight); – {{sqrt 2 } over 2}left( {1 – i} ight)} ight})

b) Gọi ({z_1},{z_2}) là hai nghiệm của phương trình

Theo giả thiết tổng bình phương hai nghiệm bằng 8 nên ta có: ({z_1}^2 + {z_2}^2 = 8)

Theo định lí Vi-et ta có: 

(left{ matrix{
{z_1} + {z_2} = – B hfill cr
{z_1}.{z_2} = 3i hfill cr} ight.)

(eqalign{
& {z_1}^2 + {z_2}^2 = 8 Leftrightarrow {left( {{z_1} + {z_2}} ight)^2} – 2{z_1}.{z_2} = 8 cr
& Leftrightarrow {left( { – B} ight)^2} – 2.3i = 8 cr
& Leftrightarrow {B^2} = 8 + 6i cr
& Leftrightarrow {B^2} = 9 + 2.3.i + {i^2} cr
& Leftrightarrow {B^2} = {left( {3 + i} ight)^2} cr
& Leftrightarrow B = pm left( {3 + i} ight) cr} )