Bài 22 trang 197 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Đố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của -1...

Bài 22

Đố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của (-1) là (sqrt { – 1} ) và tính (sqrt { – 1} ).(sqrt { – 1} ) như sau:

a) Theo định nghĩa căn bậc hai của (-1) thì  (sqrt { – 1} ).(sqrt { – 1} = – 1) .

b) Theo tính chất của căn bậc hai ( tính của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số đó ) thì (sqrt { – 1} .sqrt { – 1}  = sqrt {left( { – 1} ight).left( { – 1} ight)}  = sqrt 1  = 1)

Từ đó, học sinh đó suy ra (-1 = 1)

Hãy tìm điều sai trong lập luận trên.

Giải

Lập luận a) là đúng

Lập luận b) sai ở chỗ; nếu z₁ là một căn bậc hai của w₁, z₂ là một căn bậc hai của w₂ thì ({z_1}{z_2}) là một trong hai căn bậc hai của ({{ m{w}}_1}{{ m{w}}_2}); vậy ở đây (sqrt { – 1} ).(sqrt { – 1} ) chỉ là một căn bậc hai của (left( { – 1} ight)left( { – 1} ight) = 1) (để ý rằng có hai căn bậc hai của 1 là 1 và -1), các kí hiệu (sqrt {left( { – 1} ight)left( { – 1} ight)} ) và (sqrt 1 ) chưa xác định.