Bài 39 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao, Giải các phương trình sau trên C:...

Bài 39. Giải các phương trình sau trên C:

(eqalign{  & a),{left( {z + 3 – i} ight)^2} – 6left( {z + 3 – i} ight) + 13 = 0;  cr  & b),left( {{{iz + 3} over {z – 2i}}} ight)^2 – 3{{iz + 3} over {z – 2i}} – 4 = 0; cr} )

(c),,{left( {{z^2} + 1} ight)^2} + {left( {z + 3} ight)^2} = 0.)

Giải

a) Đặt ({ m{w}} = z + 3 – i) ta được phương trình:

                        (eqalign{  & {{ m{w}}^2} – 6{ m{w}}+ 13 = 0 Leftrightarrow {left( {{ m{w}} – 3} ight)^2} =  – 4 = 4{i^2}  cr  &  Leftrightarrow left[ matrix{  { m{w}} = 3 + 2i hfill cr  { m{w}} = 3 – 2i hfill cr}  ight. Leftrightarrow left[ matrix{  z + 3 – i = 3 + 2i hfill cr  z + 3 – i = 3 – 2i hfill cr}  ight. Leftrightarrow left[ matrix{  z = 3i hfill cr  z =  – i hfill cr}  ight. cr} )

Vậy (S = left{ { – i;3i} ight})

b) Đặt ({ m{w}} = {{iz + 3} over {z – 2i}}) ta được phương trình: ({{ m{w}}^2} – 3{ m{w}} – 4 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{  { m{w}} =  – 1 hfill cr { m{w}} = 4 hfill cr}  ight.)

Với ({ m{w}} = -1) ta có ({{iz + 3} over {z – 2i}} =  – 1 Leftrightarrow iz + 3 =  – z + 2i)

( Leftrightarrow left( {i + 1} ight)z =  – 3 + 2i Leftrightarrow z = {{ – 3 + 2i} over {1 + i}} = {{left( { – 3 + 2i} ight)left( {1 – i} ight)} over 2} = {{ – 1 + 5i} over 2})

Với ({ m{w}} = 4) ta có ({{iz + 3} over {z – 2i}} = 4 Leftrightarrow left( {4 – i} ight)z = 3 + 8i)

                                    ( Leftrightarrow z = {{3 + 8i} over {4 – i}} = {{left( {3 + 8i} ight)left( {4 + i} ight)} over {17}} = {{4 + 35i} over {17}})

Vậy (S = left{ {{{ – 1 + 5i} over 2};{{4 + 35} over {17}}} ight})

(c),{left( {{z^2} + 1} ight)^2} + {left( {z + 3} ight)^2} = {left( {{z^2} + 1} ight)^2} – {left[ {ileft( {z + 3} ight)} ight]^2})

( = left( {{z^2} + 1 + ileft( {z + 3} ight)} ight)left( {{z^2} + 1 – ileft( {z + 3} ight)} ight) = 0)

(Leftrightarrowleft[ matrix{  {z^2} + 1 + ileft( {z + 3} ight) = 0,,left( 1 ight) hfill cr  {z^2} + 1 – ileft( {z + 3} ight) = 0,,,left( 2 ight) hfill cr}  ight.)

Phương trình (1) là phương trình bậc hai ({z^2} + iz + 1 + 3i = 0);

(Delta  =  – 5 – 12i = {left( {2 – 3i} ight)^2}) 

Phương trình có hai nghiệm là ({z_1} = 1 – 2i) và ({z_2} =  – 1 + i).

Phương trình (2) là phương trình bậc hai ({z^2} – iz + 1 – 3i = 0);

(Delta  =  – 5 + 12i = {left( {2 + 3i} ight)^2}) 

Phương trình có hai nghiệm là ({z_3} = 1 + 2i) và ({z_4} =  – 1 – i)

Vậy (S = left{ {1 – 2i; – 1 + i;1 + 2i; – 1 – i} ight})