Bài 34 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao, Tìm các số nguyên dương n để...

Bài 34. Cho số phức ({ m{w}} =  – {1 over 2}left( {1 + isqrt 3 } ight)). Tìm các số nguyên dương n để ({{ m{w}}^n}) là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để ({{ m{w}}^m}) là số ảo?

Giải

Ta có: ( m{w}  =  – {1 over 2} – {{sqrt 3 } over 2}i = cos {{4pi } over 3} + isin {{4pi } over 3})

Suy ra ({ m{w}^n} = cos {{4pi n} over 3} + isin {{4pi n} over 3})

({omega ^n}) là số thực ( Leftrightarrow sin {{4npi } over 3} = 0 Leftrightarrow {{4npi } over 3} = kpi ,,left( {k in mathbb Z} ight))

( Leftrightarrow 4n = 3k Leftrightarrow n) chia hết cho 3 (n nguyên dương)

({ m{w} ^m}) (m nguyên dương) là số ảo ( Leftrightarrow cos {{4mpi } over 3} = 0 Leftrightarrow {{4mpi } over 3} = {pi  over 2} + kpi ,,left( {k in mathbb Z} ight))

( Leftrightarrow 8m = 6k + 3) (vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ).

Vậy không có số nguyên dương m để  ({ m{w} ^m}) là số ảo.