Bài 36 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao, Viết dạng lượng giác của các số phức:...

Bài 36. Viết dạng lượng giác của các số phức sau:

a) (1 – i an {pi  over 5})                               

(b), an {{5pi } over 8} + i;)

(c){mkern 1mu} 1 – cos varphi  – isin varphi {mkern 1mu} left( {varphi  inmathbb R,{mkern 1mu} varphi  e k2pi ,{mkern 1mu} k inmathbb Z} ight){ m{ }})

Giải

(a),1 – i an {pi  over 5} = 1 – i{{sin {pi  over 5}} over {cos {pi  over 5}}} = {1 over {cos {pi  over 5}}}left( {cos {pi  over 5} – isin {pi  over 5}} ight) = {1 over {cos {pi  over 5}}}left[ {cos left( { – {pi  over 5}} ight) + isin left( { – {pi  over 5}} ight)} ight])

(b), an {{5pi } over 8} + i = {{ – 1} over {cos {{5pi } over 8}}}left( { – sin {{5pi } over 8} – icos {{5pi } over 8}} ight))(để ý rằng (cos {{5pi } over 8} < 0))

                        ( = {1 over {cos {{3pi } over 8}}}left( -{cos {pi  over 8} + isin {pi  over 8}} ight) = {1 over {cos {{3pi } over 8}}}left( {cos {{7pi } over 8} + isin {{7pi } over 8}} ight))

(c),,1 – cos varphi  – isin varphi  = 2sin^2 {varphi  over 2} – 2isin {varphi  over 2}cos {varphi  over 2} = 2sin {varphi  over 2}left[ {sin {varphi  over 2} – icos {varphi  over 2}} ight])

Khi (sin {varphi  over 2} > 0) thì (,1 – cos varphi  – isin varphi  = left( {2sin {varphi  over 2}} ight)left[ {cos left( {{varphi  over 2} – {pi  over 2}} ight) +isinleft( {{varphi  over 2} – {pi  over 2}} ight)} ight]) là dạng lượng giác cần tìm.

Khi (sin {varphi  over 2} < 0) thì (,1 – cos varphi  – isin varphi  = left( { – 2sin {varphi  over 2}} ight)left[ {cos left( {{varphi  over 2} + {pi  over 2}} ight) + isin left( {{varphi  over 2} + {pi  over 2}} ight)} ight]) là dạng lượng giác cần tìm.

Còn khi (sin {varphi  over 2} = 0) thì (,,1 – cos varphi  – isin varphi  = 0 = 0left( {cos alpha  + isin alpha } ight),,(alpha  inmathbb R)tùy ý).