25/04/2018, 17:33

Bài 37 trang 197 SBT Toán Đại số 10: Tính các góc của tam giác ABC....

Tính các góc của tam giác ABC.. Bài 37 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10 – Bài tập ôn tập chương VI Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện ({ m{cos2A + 2}}sqrt 2 cos B + 2sqrt 2 cos C = 3) ợi ý làm bài Hướng dẫn Giả thiết tam giác ABC không tù có nghĩa là các góc ...

Tính các góc của tam giác ABC.. Bài 37 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10 – Bài tập ôn tập chương VI

Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện ({ m{cos2A + 2}}sqrt 2 cos B + 2sqrt 2 cos C = 3)ợi ý làm bài

Hướng dẫn

Giả thiết tam giác ABC không tù có nghĩa là các góc của tam giác nhỏ hơn hoặc bằng ({pi  over 2}) và hiệu của hai góc cũng nằm trong khoảng từ ( – {pi  over 2}) đến ({pi  over 2}). Do đó với (A le {pi  over 2}) thì (cos {A over 2} ge cos {pi  over 4} = {{sqrt 2 } over 2}) còn với ( – {pi  over 2} < B – C < {pi  over 2}) thì ( – {pi  over 4} < {{B – C} over 2} < {pi  over 4}) do đó (cos {{B – C} over 2} > 0)

Giải chi tiết

Ta có

(cos 2A + 2sqrt 2 (cos B + cos C) = 3)

( Leftrightarrow 1 – 2si{n^2}A + 4sqrt 2 cos {{B + C} over 2}cos {{B – C} over 2} = 3)

( Leftrightarrow 1 – 2si{n^2}A + 4sqrt 2 sin{A over 2}cos {{B – C} over 2} = 3)

( Leftrightarrow 2si{n^2}A – 4sqrt 2 sin{A over 2}cos {{B – C} over 2} + 2 = 0)

( Leftrightarrow si{n^2}A – 2sqrt 2 sin{A over 2}cos {{B – C} over 2} + 1 = 0)

Tam giác ABC không tù nên (cos {A over 2} ge {{sqrt 2 } over 2}), suy ra (sqrt 2  le 2cos {A over 2}). Mặt khác, (cos {{B – C} over 2} > 0) nên ta có

(2sqrt 2 sin{A over 2}cos {{B – C} over 2} le 4sin{A over 2}cos {A over 2}cos {{B – C} over 2})

Hay ( – 2sqrt 2 sin{A over 2}cos {{B – C} over 2} ge  – 2sin Acos {{B – C} over 2})

Vì vậy vế trái của (*) ( ge si{n^2}A – 2sin Acos {{B – C} over 2} + 1)

( = {(sin A – cos {{B – C} over 2})^2} – {cos ^2}{{B – C} over 2} + 1)

( = {(sin A – cos {{B – C} over 2})^2} + {sin ^2}{{B – C} over 2} ge 0)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  (left{ matrix{
B – C = 0 hfill cr
sin A = cos {{B – C} over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
B = C hfill cr
sin A = 1 hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow A = {pi  over 2},B = C = {pi  over 4})

Vậy ABC là tam giác vuông cân.

0