Bài 37 trang 197 SBT Toán Đại số 10: Tính các góc của tam giác ABC....

Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện ({ m{cos2A + 2}}sqrt 2 cos B + 2sqrt 2 cos C = 3)ợi ý làm bài

Hướng dẫn

Giả thiết tam giác ABC không tù có nghĩa là các góc của tam giác nhỏ hơn hoặc bằng ({pi  over 2}) và hiệu của hai góc cũng nằm trong khoảng từ ( – {pi  over 2}) đến ({pi  over 2}). Do đó với (A le {pi  over 2}) thì (cos {A over 2} ge cos {pi  over 4} = {{sqrt 2 } over 2}) còn với ( – {pi  over 2} < B – C < {pi  over 2}) thì ( – {pi  over 4} < {{B – C} over 2} < {pi  over 4}) do đó (cos {{B – C} over 2} > 0)

Giải chi tiết

Ta có

(cos 2A + 2sqrt 2 (cos B + cos C) = 3)

( Leftrightarrow 1 – 2si{n^2}A + 4sqrt 2 cos {{B + C} over 2}cos {{B – C} over 2} = 3)

( Leftrightarrow 1 – 2si{n^2}A + 4sqrt 2 sin{A over 2}cos {{B – C} over 2} = 3)

( Leftrightarrow 2si{n^2}A – 4sqrt 2 sin{A over 2}cos {{B – C} over 2} + 2 = 0)

( Leftrightarrow si{n^2}A – 2sqrt 2 sin{A over 2}cos {{B – C} over 2} + 1 = 0)

Tam giác ABC không tù nên (cos {A over 2} ge {{sqrt 2 } over 2}), suy ra (sqrt 2  le 2cos {A over 2}). Mặt khác, (cos {{B – C} over 2} > 0) nên ta có

(2sqrt 2 sin{A over 2}cos {{B – C} over 2} le 4sin{A over 2}cos {A over 2}cos {{B – C} over 2})

Hay ( – 2sqrt 2 sin{A over 2}cos {{B – C} over 2} ge  – 2sin Acos {{B – C} over 2})

Vì vậy vế trái của (*) ( ge si{n^2}A – 2sin Acos {{B – C} over 2} + 1)

( = {(sin A – cos {{B – C} over 2})^2} – {cos ^2}{{B – C} over 2} + 1)

( = {(sin A – cos {{B – C} over 2})^2} + {sin ^2}{{B – C} over 2} ge 0)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  (left{ matrix{
B – C = 0 hfill cr
sin A = cos {{B – C} over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
B = C hfill cr
sin A = 1 hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow A = {pi  over 2},B = C = {pi  over 4})

Vậy ABC là tam giác vuông cân.