Bài 29 trang 9 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ ABC.A₁B₁C₁có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB bằng (sqrt 2 ). Cho biết mặt phẳng (left( {A{A_1}B} ight)) vuông góc với mặt phẳng (left( {ABC} ight)),({ m{A}}{{ m{A}}_1} = sqrt 3 ), góc (widehat {{A_1}AB}) nhọn , góc giữa mặt phẳng (left( {{A_1}AC} ight)) và mặt phẳng (left( {ABC} ight)) bằng 60⁰.

Hãy tính thể tích khối lăng trụ.

Giải

(h.12)

Hạ ({A_1}K ot AB) ( với (K in AB)) thì ({A_1}K ot left( {ABC} ight)). Vì (widehat {{A_1}AB}) nhọn nên K thuộc tia AB.

Kẻ (KM ot AC) thì ({A_1}M ot AC) (định lí ba đường vuông góc ), do đó (widehat {{A_1}MK}) = 60⁰,

Giả sử ({A_1}K = x), ta có :

(eqalign{  & AK = sqrt {{A_1}{A^2} - {A_1}{K^2}}  = sqrt {3 - {x^2}} ,  cr  &  cr} )

(MK = AK.sin widehat {KAM})

          (=sqrt {3 - {x^2}} .sin {45^0} = {{sqrt 2 } over 2}sqrt {3 - {x^2}} .)

Mặt khác, (MK = {A_1}K.cot {60^0} = {x over {sqrt 3 }},) suy ra

( {{sqrt{2.left( {3 - {x^2}} ight)} over {2}}}  = {x over {sqrt 3 }} Rightarrow x = {3 over {sqrt 5 }}.)

Vậy ({V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = {S_{ABC}}.{A_1}K )

                              (= {1 over 2}AC.CB.{A_1}K = {{3sqrt 5 } over {10}})

Sachbaitap.com