Bài 26 trang 9 Sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao

Cho khối hộp

Cho khối hộp (ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}) tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a, góc (widehat {{A_1}AB} = widehat {BAD} = widehat {{A_1}AD}= alpha left( {{0^0} < alpha  < {{90}^0}} ight).)Hãy tính thể tích của khối hộp.

Giải

(h.9)

Hạ ({A_1}H ot AC(H in AC)left(  *  ight).)

Tam giác A₁BD cân ( do ({A_1}B = {A_1}D)) suy ra (BD ot {A_1}O). Mặt khác

(eqalign{  & BD ot AC  cr  &  Rightarrow BD ot left( {{A_1}AO} ight) Rightarrow BD ot {A_1}Hleft( { *  * } ight). cr} )

Từ (left(  *  ight)) và (left( { *  * } ight) Rightarrow {A_1}H ot left( {ABCD} ight).)

Đặt  (widehat {{A_1}AO} = varphi .) Ta có hệ thức :

(cos alpha  = cosvarphi .cos{alpha  over 2})

Thật vậy, hạ ({A_1}K ot AD Rightarrow HK ot AK) (định lý ba đường vuông góc )

( Rightarrow cos varphi .cos{alpha  over 2} = {{AH} over {A{A_1}}}.{{AK} over {AH}} = {{AK} over {A{A_1}}} = cos alpha .)

Từ đẳng thức trên ta suy ra : (cosvarphi  = {{cosalpha } over {cos{alpha  over 2}}}.)

Do đó

({A_1}H = a.sin varphi  = asqrt {1 - {{{{cos }^2}_alpha } over {co{s^2}{alpha  over 2}}}}  )

          (= {a over {cos{alpha  over 2}}}sqrt {{{cos }^2}_{{alpha  over 2}} - co{s^2}_alpha } .)

(eqalign{  & {V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = AB.AD.sin alpha .{A_1}H cr&= {a^2}.sin a.{a over {cos{alpha  over 2}}}sqrt {co{s^2}{alpha  over 2} - co{s^2}alpha }   cr  &  = 2{a^3}sin {alpha  over 2}sqrt {co{s^2}{alpha  over 2} - co{s^2}alpha } . cr} )

Sachbaitap.com