Bài 35 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao, Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:...

Bài 35. Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:

a) (left| z ight| = 3) và một acgumen của iz là ({{5pi } over 4};)

b) (left| z ight| = {1 over 3}) và một acgumen của ({{overline z } over {1 + i}}) là ( – {{3pi } over 4}.)

Giải

a) Ta có (i = cos {pi  over 2} + isin {pi  over 2}) nên acgumen của i là ({pi  over 2}). Một acgumen của (z = {{iz} over i}) là ({{5pi } over 4} – {pi  over 2} = {{3pi } over 4})

Vậy (z = 3left( {cos {{3pi } over 4} + isin {{3pi } over 4}} ight)), từ đó dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là (sqrt 3 left( {cos {{3pi } over 8} + isin {{3pi } over 8}} ight)) và (-sqrt 3 left( {cos {{3pi } over 8} + isin {{3pi } over 8}} ight)=sqrt 3 left( {cos {{11pi } over 8} + isin {{11pi } over 8}} ight)).

b) Gọi (varphi ) là acgumen của z là -(varphi ) là một acgumen của (overline z )

(1 + i = sqrt 2 left( {{1 over {sqrt 2 }} + {1 over {sqrt 2 }}i} ight) = sqrt 2 left( {cos {pi  over 4} + isin {pi  over 4}} ight)) có một acgumen là ({pi  over 4}) nên một acgumen của ({{overline z } over {1 + i}}) là ( – varphi  – {pi  over 4}). Theo đề bài ta có:

( – varphi  – {pi  over 4} =- {{3pi } over 4} + k2pi ,,left( {k in mathbb Z} ight) Rightarrow varphi  = {pi  over 2} + k2pi ,,left( {k inmathbb Z} ight))

Vậy (z = {1 over 3}left( {cos {pi  over 2} + isin {pi  over 2}} ight)) 

Dạng lượng giác của căn bậc hai của z là:

({1 over {sqrt 3 }}left( {cos {pi  over 4} + isin {pi  over 4}} ight)) và ( – {1 over {sqrt 3 }}left( {cos {pi  over 4} + isin {pi  over 4}} ight) = {1 over {sqrt 3 }}left( {cos {{5pi } over 4} + isin {{5pi } over 4}} ight))