Bài 23 trang 65 Hình học 10 Nâng cao: Gọi H là trực tâm của tam giác không vuông ABC....

Bài 23. Gọi (H) là trực tâm của tam giác không vuông (ABC). Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác (ABC,,HBC,,HCA,,HAB) bằng nhau.

Hướng dẫn trả lời

Trường  hợp 1: Tam giác (ABC) có ba góc nhọn.

Gọi (R,,{R_1}) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC, HBC).

Áp dụng định lí sin ta có

 ({{BC} over {sin A}} = 2R,;,,{{BC} over {sin widehat {BHC}}} = 2{R_1})

Mà      (widehat {BHC} + widehat A = widehat {{B’}H{C’}} + widehat A = {180^0}) (Vì (widehat {BHC}) và (widehat {{B’}H{C’}}) đối đỉnh)

( Rightarrow ,,sin A = sin widehat {BHC})

Do đó  (2R = 2{R_1},, Rightarrow ,,R = {R_1}.)

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (HBC) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC).

Tương tự bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (HCA, HAB) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC).

Trường hợp 2: Tam giác (ABC) có góc tù.

Ta có ({{BC} over {sin widehat{BAC}}} = 2R,;,,{{BC} over {sin widehat {BHC}}} = 2{R_1})

Mà   (widehat {B’AC’} + widehat {CHB} = {180^0},, Rightarrow ,,sin widehat{BAC} =sin widehat{B’AC’}= sin widehat {CHB}) (Vì  (widehat{BAC}) và (widehat{B’AC’}) đối đỉnh)

( Rightarrow ,,R = {R_1})

Tương tự  ta chứng minh được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (HCA, HAB) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC).