Bài 12 trang 52 Hình học 10 Nâng cao: Cho đoạn thẳng AB cố định, AB = 2a...

Bài 12. Cho đoạn thẳng (AB) cố định, (AB = 2a) và một số ({k^2}). Tìm tập hợp các điểm (M) sao cho (M{A^2} – M{B^2} = {k^2}).

Hướng dẫn trả lời

Gọi (O) là trung điểm đoạn (AB, H) là hình chiếu của (M) lên (AB). Ta có

(eqalign{
& M{A^2} – M{B^2} = {k^2},,, Leftrightarrow ,,{overrightarrow {MA} ^2} – {overrightarrow {MB} ^2} = {k^2} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} ).,(overrightarrow {MA} – overrightarrow {MB} ) = {k^2} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow 2overrightarrow {MO} .,overrightarrow {BA} = {k^2}, cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow 2left( {overrightarrow {MH} + overrightarrow {HO} } ight).overrightarrow {BA} cr
& .,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow 2overrightarrow {HO} .,overrightarrow {BA} = {k^2} cr} )

( Vì (overrightarrow {MH} .overrightarrow {BA}  = overrightarrow 0 ))

Suy ra (H) cố định nằm trên tia (OB) và (OH = {{{k^2}} over {4a}}).

 Do (H) là hình chiếu của (M) lên (AB) nên tập hợp các điểm (M) là đường thẳng vuông góc với (AB) tại (H, H) nằm trên tia  (OB) sao cho (OH = {{{k^2}} over {4a}}).