Bài 3 trang 223 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Xét hình lăng trụ tam giác đều với chiều cao h

Xét hình lăng trụ tam giác đều với chiều cao h, nội tiếp một mặt cầu bán kính R (h < 2R) (tức sáu đỉnh của hình lăng trụ nằm trên mặt cầu đó).

a) Tính cạnh đáy của hình lăng trụ.

b) Tính thể tích của khối lăng trụ.

c) Tính h theo R để mỗi mặt bên của hình lăng trụ là hình vuông.

Giải

(h.107).

 

a) Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ, I là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó ta có : (OA = OB = OC = R,OI = {1 over 2}h.) Tam giác OAI vuông tại I nên(A{I^2} = O{A^2} - { m{ }}O{I^2} = { m{ }}{R^2}; - {{{h^2}} over 4}.) 

IA là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC nên

              (AB = IAsqrt 3  = sqrt {3left( {{R^2} - {{{h^2}} over 4}} ight)} .)

Vậy cạnh đáy của hình lăng trụ bằng

                    ({1 over 2}sqrt {3left( {4{R^2} - {h^2}} ight)} .)

b) Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là :

(V = {S_{ABC}}.h = {{A{B^2}sqrt 3 } over 4}h = {{3sqrt 3 } over {16}}left( {4{R^2} - {h^2}} ight)h.)

c) Mỗi mặt bên của hình lăng trụ là hình vuông khi và chỉ khi AB = h, tức ({1 over 2}sqrt {3left( {4{R^2} - {h^2}} ight)}  = h Leftrightarrow h = sqrt {{{12} over 7}} R) (để ý rằng (sqrt {{{12} over 7}} )< 2).

Sachbaitap.com