Câu 1.66 trang 19 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Tìm các nghiệm thuộc khoảng ...
Tìm các nghiệm thuộc khoảng
Tìm các nghiệm thuộc khoảng(left( {0;2pi } ight)) của phương trình
({{sqrt {1 + cos x} + sqrt {1 - cos x} } over {cos x}} = 4sin x)
Giải
Điều kiện xác định của phương trình (cos x e 0.) Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình:
(sqrt 2 left( {left| {cos {x over 2}} ight| + left| {sin {x over 2}} ight|} ight) = 2sin 2x,,,,,,,,,,,,,,,(1))
Do (x = pi ) không là nghiệm của (1) nên ta chỉ cần xét hai khả năng sau:
1) (x in left( {0;pi } ight).) Lúc này (0 < {x over 2} < {pi over 2},) kéo theo (cos {x over 2} > 0) và (sin {x over 2} > 0). Do đó (1) trở thành
({1 over {sqrt 2 }}left( {sin {x over 2} + cos {x over 2}} ight) = sin 2x )
(Leftrightarrow sin left( {{x over 2} + {pi over 4}}
ight) = sin 2x Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 6} + {{4kpi } over 3} hfill cr
x = {{3pi } over {10}} + {{4lpi } over 5} hfill cr}
ight.)
Để tìm nghiệm thuộc khoảng (left( {0;pi } ight),) ta cần tìm k và l nguyên sao cho
( ullet ,,0 < {pi over 6} + k{{4pi } over 3} < pi Leftrightarrow - {1 over 8} < k < {5 over 8} Leftrightarrow k = 0.) Ta nhận (x = {pi over 6})
( ullet ,,0 < {{3pi } over {10}} + l{{4pi } over 5} < pi Leftrightarrow - {3 over 8} < l < {7 over 8} Leftrightarrow l = 0.) Ta nhận (x = {{3pi } over {10}})
2) (x in left( {pi ;2pi } ight).) Lúc này ({pi over 2} < {x over 2} < pi ,) kéo theo (cos {x over 2} < 0) và (sin {x over 2} > 0). Do đó (1) trở thành
({1 over {sqrt 2 }}left( {sin {x over 2} - cos {x over 2}} ight) = sin 2x)
(Leftrightarrow sin left( {{x over 2} - {pi over 4}}
ight) = sin 2x Leftrightarrow left[ matrix{
x = - {pi over 6} + {{4kpi } over 3} hfill cr
x = {pi over 2} + l{{4pi } over 5} hfill cr}
ight.)
Tương tự trên, ta có
( ullet ,,pi < - {pi over 6} + k{{4pi } over 3} < 2pi Leftrightarrow {7 over 8} < k < {{13} over 8} Leftrightarrow k = 1.)
Ta nhận được (x = - {pi over 6} + {{4pi } over 3} = {{7pi } over 6})
( ullet ,,pi < {pi over 2} + l{{4pi } over 5} < 2pi Leftrightarrow {5 over 8} < l < {{15} over 8} Leftrightarrow l = 1.)
Ta nhận được (x = {pi over 2} + {{4pi } over 5} = {{13pi } over {10}})
Kết luận: Trong khoảng (left( {0;2pi } ight),) phương trình đã cho có 4 nghiệm là (x = {pi over 6},x = {{3pi } over {10}},x = {7 pi over 6}) và (x = {{13pi } over {10}})
zaidap.com
