Câu 1.67 trang 19 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho phương trình

Cho phương trình (msin x + (m + 1)cosx = {m over {cos x}})

a) Giải phương trình khi (m = {1 over 2})

b) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đã cho có nghiệm.               

Giải

a) 

cosx = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho cosx

Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với ( an x) 

(eqalign{
& {1 over 2} an x + {3 over 2} = {1 over 2}left( {1 + {{ an }^2}x} ight) cr
& Leftrightarrow {1 over 2}{ an ^2}x - {1 over 2} an x - 1 = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
an x = - 1 hfill cr
an x = 2 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = {{ - pi } over 4} + k2pi hfill cr
x = alpha + lpi ext{ với } an alpha = 2 hfill cr} ight. cr} )

b) (m le  - 4) hoặc (m > 0)

ĐKXĐ của phương trình là (cos x e 0.) Với điều kiện đó, chia hai vế cho (cos x) và đặt ( an x = t) ta được phương trình.

                                (m{t^2} - mt - 1 = 0,,,,,,,,,,,,,(1))

Do phương trình ( an x = t) có nghiệm với mọi t nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm. 

+) Xét m = 0 phương trình vô nghiêm.

+) Xét (m e 0) ta có (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

(Delta ge 0 Leftrightarrow {m^2} + 4m ge 0 Leftrightarrow left[ matrix{
m ge 0 hfill cr
m le - 4 hfill cr} ight.)

Kết hợp với điều kiện (m e 0) thì (m le  - 4) hoặc (m > 0) phương trình đã cho có nghiệm. 

zaidap.com