Bài 2.20 trang 74 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, P và Q.

Cho tứ diện ABCD. Qua điểm M nằm trên AC ta dựng một mặt phẳng (left( alpha   ight)) song song với AB và CD. Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, P và Q.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì?

b) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác MNPQ. Tìm tập hợp các điểm O khi M di động trên đoạn AC.

Giải:

a) 

(left{ matrix{
left( alpha ight)parallel AB hfill cr
AB subset left( {ABC} ight) hfill cr} ight.)

( Rightarrow left( alpha   ight) cap left( {ABC} ight) = MN) và (MNparallel AB)

Ta có (N in left( {BC{ m{D}}} ight))

Và  (left{ matrix{left( alpha ight)parallel C{ m{D}} hfill cr C{ m{D}} subset left( {BCD} ight) hfill cr} ight.)

Nên ( Rightarrow left( alpha   ight) cap left( {BCD} ight) = NP) và (NPparallel C{ m{D}})

Ta có (P in left( {AB{ m{D}}} ight))

Và  (left{ matrix{left( alpha ight)parallel AB hfill cr AB subset left( {ABD} ight) hfill cr} ight.) nên ( Rightarrow left( alpha   ight) cap left( {ABD} ight) = PQ) và (PQparallel AB)

(left{ matrix{
Q in left( {ACD} ight) hfill cr
left( alpha ight)parallel C{ m{D}} hfill cr} ight.) nên ( Rightarrow left( alpha   ight) cap left( {ACD} ight) = MQ) và (MQparallel C{ m{D}})

Do đó (MNparallel PQ) và (NPparallel MQ), Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b)  Ta có: (MP cap NQ = O). Gọi I là trung điểm của CD.

Trong tam giác ACD có : (MQparallel C{ m{D}} Rightarrow AI) cắt MQ tại trung điểm E của MQ.

Trong tam giác ACD có : (NPparallel C{ m{D}} Rightarrow BI) cắt NP tại trung điểm F của NP.

Vì MNPQ là hình bình hành nên ta có  

(left{ matrix{
EFparallel MN hfill cr
O,là,trung,điểm,EF, hfill cr} ight.)

(EFparallel MN Rightarrow EFparallel AB) 

Trong ∆ABI ta có (EFparallel AB) suy ra : IO cắt AB tại trung điểm J

( Rightarrow I,O,J) thẳng hàng

( Rightarrow O in IJ) cố định.

Vì M di động trên đoạn AC nên Ochạy trong đoạn IJ . Vậy tập hợp các điểm O là đoạn IJ.

Sachbaitap.com