Bài 11 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu...

Bài 11

Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?

({z^2} + {left( {overline z } ight)^2});               ({{z – overline z } over {{z^3} + {{left( {overline z } ight)}^3}}});                     ({{{z^2} – {{left( {overline z } ight)}^2}} over {1 + zoverline z }})

Giải

* Ta có (overline {{z^2} + {{left( {overline z } ight)}^2}}  = overline {{z^2}}  + overline {{{left( {overline z } ight)}^2}}  = {left( {overline z } ight)^2} + {left( {overline {overline z } } ight)^2} = {left( {overline z } ight)^2} + {z^2})

( Rightarrow {z^2} + {left( {overline z } ight)^2})  là số thực.

Cách khác: Gọi (z=a+bi)

Ta có: ({z^2} + {overline z ^2} = {left( {a + bi} ight)^2} + {left( {a – bi} ight)^2} = 2left( {{a^2} – {b^2}} ight)) là số thực

* (overline {left( {{{z – overline z } over {{z^3} + {{left( {overline z } ight)}^3}}}} ight)}  = {{overline z  – z} over {{{left( {overline z } ight)}^3} + {z^3}}} =  – {{z – overline z } over {{z^3} + {({overline z })^3}}})  (Rightarrow {{z – overline z } over {{z^3} + {({overline z })^3}}}) là số ảo.

*  (overline {left( {{{{z^2} – {{left( {overline z } ight)}^2}} over {1 + zoverline z }}} ight)}  = {{{({overline z })^2} – {z^2}} over {1 + overline z z}} =  – {{{z^2}-{({overline z })^2}} over {1 + overline z .z}} Rightarrow {{{z^2} – {{left( {overline z } ight)}^2}} over {1 + zoverline z }}) là số ảo.