Bài 20 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương...

Bài 20

a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng (4 – i) và tích của chúng bằng (5(1 – i))

c) Có phải mọi phương trình bậc hai ({z^2} + Bz + C = 0) ((B, C) là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số (B, C) là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

Giải

a) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai (A{z^2} + Bz + C = 0) là

                  (z = {{ – B pm delta } over {2A}}left( {{delta ^2} = {B^2} – 4AC} ight))

Do đó ({z_1} + {z_2} =  – {B over A});({z_1}.{z_2} = {{left( { – B – delta } ight)left( { – B + delta } ight)} over {2A.2A}} = {{{B^2} – {delta ^2}} over {4{A^2}}} = {{4AC} over {4{A^2}}} = {C over A})

Vậy công thức Viét vẫn còn đúng.

b) Giả sử ({z_1} + {z_2} = alpha ); ({z_1}{z_2} = eta )

({z_1},{z_2}) là hai nghiệm phương trình:

(left( {z – {z_1}} ight)left( {z – {z_2}} ight) = 0 Leftrightarrow {z^2} – left( {{z_1} + {z_2}} ight)z + {z_1}{z_2} = 0 Leftrightarrow {z^2} – alpha z + eta  = 0)

Theo đề bài ({z_1} + {z_2} = 4 – i); ({z_1}{z_2} = 5left( {1 – i} ight),,)

nên ({z_1},{z_2}) là hai nghiệm phương trình

({z^2} – left( {4 – i} ight)z + 5left( {1 – i} ight) = 0) (*)

(Delta  = {left( {4 – i} ight)^2} – 20left( {1 – i} ight) = 16 – 1 – 8i – 20 + 20i =  – 5 + 12i)

Giả sử ({left( {x + yi} ight)^2} =  – 5 + 12i Leftrightarrow left{ matrix{  {x^2} – {y^2} =  – 5 hfill cr  2xy = 12 hfill cr}  ight.)

( Leftrightarrow left{ matrix{  {x^2} – {{36} over {{x^2}}} =  – 5 hfill cr  y = {6 over x} hfill cr}  ight. Leftrightarrow left{ matrix{  {x^4} + 5{x^2} – 36 = 0 hfill cr  y = {6 over x} hfill cr}  ight. Leftrightarrow left{ matrix{  x = 2 hfill cr  y = 3 hfill cr}  ight., ext{ hoặc }left{ matrix{  x =  – 2 hfill cr  y =  – 3 hfill cr}  ight.)

Vậy (Delta) có hai căn bậc hai là ( pm left( {2 + 3i} ight)).

Phương trình bậc hai (*) có hai nghiệm:

({z_1} = {1 over 2}left[ {4 – i + left( {2 + 3i} ight)} ight] = 3 + i)

({z_2} = {1 over 2}left[ {4 – i – left( {2 + 3i} ight)} ight] = 1 – 2i)

c) Nếu phương trình ({z^2} + Bz + C = 0) có hai nghiệm ({z_1},{z_2}) là hai số phức liên hợp, ({z_2} = overline {{z_1}} ), thì theo công thức Vi-ét,(B =  – left( {{z_1} + {z_2}} ight) =  – left( {{z_1} + overline {{z_1}} } ight)) là số thực, (C = {z_1}{z_2} = {z_1}overline {{z_1}} ) là số thực.

Điều ngược lại không đúng vì nếu (B, C) thực thì (Delta  = {B^2} – 4AC > 0) hai nghiệm là số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau. ( Khi (Delta  le 0) thì phương trình mới có hai nghiệm là hai số phức liên hợp).