Bài 18 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì...

Bài 18

Chứng minh rằng nếu (z) là một căn bậc hai của số phức ({ m{w}}) thì  (left| z ight| = sqrt {left| { m{w}} ight|} ).

Giải

Giả sử (z=x+yi) và ( m{w}=a+bi)

(z) là một căn bậc hai của số phức w thì ({z^2} = { m{w}})

(eqalign{
& Leftrightarrow {left( {x + yi} ight)^2} = a + bi Leftrightarrow {x^2} – {y^2} + 2xyi = a + bi cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
{x^2} – {y^2} = a hfill cr
2xy = b hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{left( {{x^2} – {y^2}} ight)^2} = {a^2} hfill cr
4{x^2}{y^2} = {b^2} hfill cr} ight. cr
& Rightarrow {a^2} + {b^2} = {x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} = {left( {{x^2} + {y^2}} ight)^2} cr
& Leftrightarrow sqrt {{a^2} + {b^2}} = {x^2} + {y^2} cr} )

  (  Rightarrow {left| z ight|^2} = left| { m{w}} ight| Rightarrow left| z ight| = sqrt {{{left| z ight|}^2}}  = sqrt {left| { m{w}} ight|} )

logiaihay.com