Bài 1 trang 23 SGK Giải tích 12
Giải bài 1 trang 23 SGK Giải tích 12. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: ...
Giải bài 1 trang 23 SGK Giải tích 12. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Đề bài
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) (y{ m{ }} = { m{ }}{x^3}-{ m{ }}3{x^2}-{ m{ }}9x{ m{ }} + { m{ }}35) trên các đoạn ([-4; 4]) và ([0;5]) ;
b) (y{ m{ }} = { m{ }}{x^4}-{ m{ }}3{x^2} + { m{ }}2) trên các đoạn ([0;3]) và ([2;5]);
c) (y = {{2 - x} over {1 - x}}) trên các đoạn ([2;4]) và ([-3;-2]);
d) (y = sqrt {5 - 4{ m{x}}}) trên đoạn ([-1;1]).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số (y=fleft( x ight)) trên đoạn (left[ a; b ight]) ta làm như sau :
+) Tìm các điểm ({{x}_{1}}; {{x}_{2}}; {{x}_{3}};......; {{x}_{n}}) thuộc đoạn (left[ a; b ight]) mà tại đó hàm số có đạo hàm (f'left( x ight)=0) hoặc không có đạo hàm.
+) Tính (fleft( {{x}_{1}} ight); fleft( {{x}_{2}} ight); fleft( {{x}_{3}} ight);........; fleft( {{x}_{n}} ight)) và (fleft( a ight); fleft( b ight).)
+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số (y=fleft( x ight)) trên (left[ a; b ight]) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số (y=fleft( x ight)) trên (left[ a; b ight]).
(egin{align}& underset{xin left[ a; b ight]}{mathop{max }},fleft( x ight)=max left{ fleft( {{x}_{1}} ight); fleft( {{x}_{2}} ight);.......; fleft( {{x}_{m}} ight); fleft( a ight); fleft( b ight) ight}. & underset{xin left[ a; b ight]}{mathop{min }},fleft( x ight)=min left{ fleft( {{x}_{1}} ight); fleft( {{x}_{2}} ight);.......; fleft( {{x}_{m}} ight); fleft( a ight); fleft( b ight) ight}. end{align})
Lời giải chi tiết
a) (y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+35)
+) Xét (D=left[ -4; 4 ight]) có :
(y'=3{{x}^{2}}-6x-9Rightarrow y'=0Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0Leftrightarrow left[ egin{align} & x=3 in D & x=-1 in D end{align} ight..)
Ta có : (yleft( -4 ight)=-41; yleft( 1 ight)=40; yleft( 3 ight)=8; yleft( 4 ight)=15.)
Vậy (underset{xin left[ -4; 4 ight]}{mathop{max }},y=40 khi x=-1) và (underset{xin left[ -4; 4 ight]}{mathop{min }},y=-41 khi x=-4.)
+) Xét (D=left[ 0; 5 ight]) có:
(y'=3{{x}^{2}}-6x-9Rightarrow y'=0Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0Leftrightarrow left[ egin{align}& x=3 in D & x=-1 otin D end{align} ight..)
Ta có : (yleft( 0 ight)=35; yleft( 3 ight)=8; yleft( 5 ight)=40.)
Vậy (underset{xin left[ 0; 5 ight]}{mathop{max }},y=40 khi x=5) và (underset{xin left[ 0; 5 ight]}{mathop{min }},y=8 khi x=3.)
b) (y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2)
Ta có:(y'=4{{x}^{3}}-6xRightarrow y'=0Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-6x=0Leftrightarrow left[ egin{align}& x=0 & x=sqrt{frac{3}{2}}=frac{sqrt{6}}{2} & x=-sqrt{frac{3}{2}}=-frac{sqrt{6}}{2} end{align} ight.)
+) Xét (D=left[ 0; 3 ight]) có: (x=-frac{sqrt{6}}{2} otin D.)
Có: (yleft( 0 ight)=2; yleft( 3 ight)=56; yleft( frac{sqrt{6}}{2} ight)=-frac{1}{4}.)
Vậy (underset{xin left[ 0; 3 ight]}{mathop{min }},y=-frac{1}{4} khi x=frac{sqrt{6}}{2}) và (underset{xin left[ 0; 3 ight]}{mathop{max }},y=56 khi x=3.)
+) Xét (D=left[ 2; 5 ight]) ta thấy (x=0; x=pm frac{sqrt{6}}{2} otin D.)
Có (yleft( 2 ight)=6; yleft( 5 ight)=552.)
Vậy (underset{xin left[ 2; 5 ight]}{mathop{min }},y=6 khi x=2) và (underset{xin left[ 2; 5 ight]}{mathop{max }},y=525 khi x=5.)
c) (y=frac{2-x}{1-x}=frac{x-2}{x-1}). Tập xác định: (Rackslash left{ 1 ight}.)
Ta có: (y'=frac{1.left( -1 ight)-1.left( -2 ight)}{{{left( x-1 ight)}^{2}}}=frac{1}{{{left( x-1 ight)}^{2}}}>0 forall x e 1.)
+) Với (D=left[ 2; 4 ight]) có: (yleft( 2 ight)=0; yleft( 4 ight)=frac{2}{3}.)
Vậy (underset{xin left[ 2; 4 ight]}{mathop{min }},y=0 khi x=2) và (underset{xin left[ 2; 4 ight]}{mathop{max }},y=frac{2}{3} khi x=4.)
+) Với (D=left[ -3; -2 ight]) có: (yleft( -3 ight)=frac{5}{4}; yleft( -2 ight)=frac{4}{3}.)
Vậy (underset{xin left[ -3; -2 ight]}{mathop{min }},y=frac{5}{4} khi x=-3) và (underset{xin left[ -3; -2 ight]}{mathop{max }},y=frac{4}{3} khi x=-2.)
d) (y=sqrt{5-4x}) . Tập xác định: (left( -infty ; frac{5}{4} ight].)
Xét tập (D=left[ -1; 1 ight]:)
Có: (y'=frac{left( 5-4x ight)'}{2sqrt{5-4x}}=frac{-2}{sqrt{5-4x}}<0 forall xin left[ -1; 1 ight].)
Ta có: (yleft( -1 ight)=3; yleft( 1 ight)=1.)
Vậy (underset{xin left[ -1; 1 ight]}{mathop{min }},y=1 khi x=1) và (underset{xin left[ -1; 1 ight]}{mathop{max }},y=3 khi x=-1.)
soanbailop6.com
