Bài 3 trang 18 SGK Giải tích 12
Giải bài 3 trang 18 SGK Giải tích 12. Chứng minh rằng ...
Giải bài 3 trang 18 SGK Giải tích 12. Chứng minh rằng
Đề bài
Chứng minh rằng hàm số (y=sqrt{left | x ight |}) không có đạo hàm tại (x = 0) nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
*) Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm (x=0) ta sử dụng cách tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa:
(f'left( {{x_0}} ight) = mathop {lim }limits_{x o {x_0}} frac{{fleft( x ight) - fleft( {{x_0}} ight)}}{{x - {x_0}}}) (nếu tồn tại giới hạn).
*) Để chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại (x=0) ta sử dụng định nghĩa cực trị:
Cho hàm số (y = fleft( x ight)) xác định và liên tục trên khoảng (left( {a;b} ight)) (có thể a là ( - infty ) và b là ( + infty )) và điểm ({x_0} in left( {a;b} ight)).
a) Nếu tồn tại số (h>0) sao cho (fleft( x ight) < fleft( {{x_0}} ight)) với mọi (x in left( {{x_0} - h;{x_0} + h} ight)) và (x e {x_0}) thì ta nói hàm số (fleft( x ight)) đạt cực đại tại ({x_0}).
b) Nếu tồn tại số (h>0) sao cho (fleft( x ight) > fleft( {{x_0}} ight)) với mọi (x in left( {{x_0} - h;{x_0} + h} ight)) và (x e {x_0}) thì ta nói hàm số (fleft( x ight)) đạt cực tiểu tại ({x_0}).
Lời giải chi tiết
*) Chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm (x=0):
(egin{array}{l}y = fleft( x
ight) = sqrt {left| x
ight|} = left{ egin{array}{l}sqrt x ,,khi,,x ge 0sqrt { - x} ,,khi,,x < 0end{array}
ight.
mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} frac{{fleft( x
ight) - fleft( 0
ight)}}{{x - 0}} = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} frac{{sqrt x }}{x} = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} frac{1}{{sqrt x }} = + infty
mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} frac{{fleft( x
ight) - fleft( 0
ight)}}{{x - 0}} = mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} frac{{sqrt { - x} }}{x} = mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} frac{{sqrt { - x} }}{{ - {{left( {sqrt { - x} }
ight)}^2}}} = mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} frac{{ - 1}}{{sqrt { - x} }} = - infty
Rightarrow mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} frac{{fleft( x
ight) - fleft( 0
ight)}}{{x - 0}}
e mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} frac{{fleft( x
ight) - fleft( 0
ight)}}{{x - 0}}
end{array})
(Rightarrow) Không tồn tại đạo hàm của hàm số đã cho tại (x = 0).
*) Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại (x=0) :
Với (h>0) là một số thực bất kì ta có:
(egin{array}{l}fleft( x ight) = sqrt {left| x ight|} ge 0,,forall x in left( { - h;h} ight)fleft( 0 ight) = 0Rightarrow fleft( x ight) ge fleft( 0 ight),,,forall x in left( { - h;h} ight)end{array})
Theo định nghĩa điểm cực trị của hàm số ta kết luận (x=0) là điểm cực tiểu của hàm số (y = fleft( x ight) = sqrt {left| x ight|} ).
soanbailop6.com
