Bài 2 trang 43 SGK Giải tích 12
Giải bài 2 trang 43 SGK Giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau: ...
Giải bài 2 trang 43 SGK Giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
Đề bài
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
a) (y=- {x^4} + 8{x^{2}}-1); b) (y= {x^4} - 2{x^2} + 2);
c) (y = {1 over 2}{x^4} + {x^2} - {3 over 2}); d) (y = - 2{x^2} - {x^4} + 3).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:
*) Xét chiều biến thiên của hàm số:
+) Tính đạo hàm.
+) Tìm các điểm ({{x}_{i}}) mà tại đó đạo hàm có (y'=0) hoặc đạo hàm không xác định.
+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
*) Tìm cực trị: (yleft( {{x}_{i}} ight).)
*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có.
(underset{x o pm infty }{mathop{lim }},y; underset{x o {{x}_{0}}}{mathop{lim }},y....)
*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
Bước 3: Đồ thị:
+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: (x=0Rightarrow y=....Rightarrow Aleft( 0; ..... ight).)
+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (y=0Rightarrow x=.....Rightarrow Bleft( ...;0 ight).)
+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: (D=mathbb R) ;
Sự biến thiên:
Ta có: (y' =-4x^3+ 16x = -4x(x^2- 4));
(Rightarrow y' = 0 Leftrightarrow - 4xleft( {{x^2} - 4} ight) = 0 Leftrightarrow left[ egin{array}{l}x = 0{x^2} - 4 = 0end{array} ight. Leftrightarrow left[ egin{array}{l}x = 0x = pm 2end{array} ight.) .
- Hàm số đồng biến trên khoảng ((-infty;-2)) và ((0;2)); nghịch biến trên khoảng ((-2;0)) và (2;+infty)).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đạt tại hai điểm (x=-2) và (x=2); (y_{CĐ}=y(pm 2)=15).
Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0); (y_{CT}=-1)
- Giới hạn:
(mathop {lim y}limits_{x o pm infty } = - infty )
Bảng biến thiên :
Đồ thị giao (Oy) tại điểm ((0;-1))
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.
Đồ thị
b) Tập xác định: (D=mathbb R);
Sự biến thiên:
Ta có: (y' =4x^3- 4x = 4x(x^2- 1));
( Rightarrow y' = 0 Leftrightarrow 4xleft( {{x^2} - 1}
ight) = 0 Leftrightarrow left[ egin{array}{l}
x = 0
{x^2} - 1 = 0
end{array}
ight. Leftrightarrow left[ egin{array}{l}
x = 0
x = pm 1
end{array}
ight..)
- Hàm số đồng biến trên khoảng ((-1;0)) và ((1;+infty)); nghịch biến trên khoảng ((-infty;-1)) và ((0;1)).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại (x=0); (y_{CĐ}=2).
Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm (x=-1) và (x=1); (y_{CT}=y(pm 1)=1).
-Giới hạn:
(mathop {lim y}limits_{x o pm infty } = + infty )
Bảng biến thiên :
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.
Đồ thị giao (Oy) tại điểm ((0;2))
Đồ thị
c) Tập xác định: (D=mathbb R);
Sự biến thiên:
Ta có: (y' =2x^3+ 2x = 2x(x^2+1));
( Rightarrow y' = 0 Leftrightarrow 2xleft( {{x^2} + 1}
ight) = 0 Leftrightarrow left[ egin{array}{l}
x = 0
{x^2} + 1 = 0
end{array}
ight. Leftrightarrow x = 0.)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng ((-infty;0)); đồng biến trên khoảng ((0;+infty)).
-Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0); (y_{CT}={-3over 2})
-Giới hạn:
(mathop {lim y}limits_{x o pm infty } = + infty )
Bảng biến thiên :
Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.
Đồ thị giao (Ox) tại hai điểm ((-1;0)) và ((1;0)); giao (Oy) tại ((0;{-3over 2})).
Đồ thị như hình bên.
d) Tập xác định: (D=mathbb R);
Sự biến thiên:
Ta có: (y' = -4x - 4x^3= -4x(1 + x^2));
( Rightarrow y' = 0 Leftrightarrow - 4xleft( {1 + {x^2}}
ight) = 0 Leftrightarrow left[ egin{array}{l}
x = 0
{x^2} + 1 = 0
end{array}
ight. Leftrightarrow x = 0.)
- Hàm số đồng biến trên khoảng: ((-infty;0)); nghịch biến trên khoảng: ((0;+infty)).
- Cực trị: Hàm số đạt cực đạt tại (x=0); (y_{CĐ}=3).
- Giới hạn:
(mathop {lim y}limits_{x o pm infty } = -infty )
Bảng biến thiên :
Hàm số đã cho là hàm chẵn, nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.
Đồ thị giao (Ox) tại hai điểm ((1;0)) và ((-1;0)); giao (Oy) tại điểm ((0;3)).
Đồ thị như hình bên.
soanbailop6.com
